(a) Quais são o domínio e a imagem de ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar o domínio e a imagem de duas funções logarítmicas. Vamos precisar entender o que é domínio (todos os valores de que a função aceita) e imagem (todos os valores de que a função pode produzir). Além disso, vamos usar as propriedades dos logaritmos naturais ( ) para determinar essas regiões.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
Primeiro, vamos descobrir o domínio. Sabemos que o logaritmo natural só está definido para números maiores que zero. Então, para existir:
Portanto, o domínio de é todos os números reais positivos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da primeira função. A função pode assumir qualquer valor real, de a . Quando adicionamos 2 a , estamos apenas deslocando o gráfico dessa função para cima, mas ela ainda pode assumir todos os valores reais. Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda função:
Primeiro, determinamos o domínio. O argumento do logaritmo ( ) deve ser maior que zero:
Então, o domínio dessa função é todos os números reais maiores que 1.

Passo 5

Para a imagem da segunda função, novamente a função pode assumir qualquer valor real. Subtraindo 1, estamos apenas deslocando o gráfico para baixo, mas a função ainda pode alcançar todos os valores reais:

Resposta

  • Para :
    • Domínio:
    • Imagem:
  • Para :
    • Domínio:
    • Imagem:

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Determine se a função dada é periódica e em caso afirmativo determine seu período fundamental. Faça uma esboço do gráfico de tais funções.
Calcule
Expresse a quantidade dada como um único logaritmo.
Encontre o valor exato de cada expressão.