Some of the results requested in Problems 17 through 22 can be obtained either by solving the given equations analytically or by plotting numerically generated approximations to the solutions. Try to form an opinion about the advantages and disadvantages of each approach.
G 17. Solve the initial value problem
and determine the interval in which the solution is valid.
Hint: To find the interval of definition, look for points where the integral curve has a vertical tangent.
G 17. Solve the initial value problem
Hint: To find the interval of definition, look for points where the integral curve has a vertical tangent.
Passo 1
Estamos lidando com um problema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente um problema de valor inicial. Vamos resolver a equação diferencial dada:
Para resolver, precisaremos usar técnicas de separação de variáveis e integração. Também determinaremos o intervalo de validade da solução observando onde a curva integral tem tangentes verticais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da derivada:
Podemos fatorar o denominador:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Multiplicamos ambos os lados por
:
Isso nos permite integrar cada lado separadamente.
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Primeiro, expandimos o lado esquerdo:
Então, a integral fica:
Passo 5
Calculamos as integrais:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Igualamos as integrais:
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
.
Passo 7
Substituímos
e
na equação:
Então, a equação fica:
Passo 8
Para encontrar
em termos de
, podemos reorganizar a equação:
No entanto, essa equação pode ser complicada para resolver explicitamente. Portanto, mantemos a solução implícita:
Passo 9
Agora, determinamos o intervalo de validade da solução. Observamos onde a solução pode ter tangentes verticais, o que ocorre quando o denominador da derivada
é zero:
Esses valores de
tornam a derivada indefinida, indicando possíveis limites para o intervalo de definição da solução.
Passo 10
Usamos a condição inicial
, que está entre 0 e 2. Portanto, a solução é válida para
nesse intervalo. Analisando a equação implícita, podemos concluir que a solução é válida enquanto
está entre 0 e 2.
Resposta
A solução implícita do problema de valor inicial é:
E o intervalo de definição da solução é para valores de
onde
está entre 0 e 2, ou seja,
.