Some of the results requested in Problems 17 through 22 can be obtained either by solving the given equations analytically or by plotting numerically generated approximations to the solutions. Try to form an opinion about the advantages and disadvantages of each approach.
G 21. Consider the initial value problem
b. Suppose that . Find the time at which the solution first reaches the value 3.98.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial inicial que descreve como muda com o tempo . A equação é:
Nosso objetivo aqui é descobrir em que tempo a solução chega a . Para isso, vamos usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis e . Isso significa que vamos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. A equação fica assim:
Dividindo ambos os lados por e multiplicando por , temos:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados. Antes de integrar o lado esquerdo, precisamos simplificar a fração usando frações parciais. A ideia é separar em partes mais fáceis de integrar.
Podemos escrever:
Então, a equação fica:

Passo 4

Vamos agora integrar cada termo:
  • A integral de é .
  • A integral de é .
  • A integral de é .
Substituindo, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Multiplicando ambos os lados por 4:
Onde .
Agora, aplicando a função exponencial para eliminar o logaritmo:
Podemos reescrever como uma nova constante :

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor de usando a condição inicial :
Substituindo e :
Então, a equação fica:

Passo 7

Vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando os termos com :
Finalmente, isolando :

Passo 8

Agora queremos encontrar o tempo quando . Vamos substituir na equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo:

Passo 9

Isolando o termo com a exponencial:
Dividindo ambos os lados por 0.02:

Passo 10

Para resolver para , aplicamos o logaritmo natural:
Isolando :
E então:

Resposta

O tempo em que a solução atinge o valor 3.98 é aproximadamente:

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Some of the results requested in Problems 17 through 22 can be obtained either by solving the given equations analytically or by plotting numerically generated approximations to the solutions. Try to form an opinion about the advantages and disadvantages of each approach.
G 18. Solve the initial value problem
and determine the interval in which the solution is valid.
Hint: To find the interval of definition, look for points where the integral curve has a vertical tangent.
Calcule
Determine se a função dada é periódica e em caso afirmativo determine seu período fundamental. Faça uma esboço do gráfico de tais funções.