Determine se a função dada é periódica e em caso afirmativo determine seu período fundamental. Faça uma esboço do gráfico de tais funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a função que foi dada é periódica. Se for, vamos achar qual é o período fundamental dela. Além disso, vamos fazer um esboço do gráfico dessa função. Para isso, vamos usar os conceitos de funções periódicas, entender o que significa o período de uma função e como identificar se uma função repete seus valores em intervalos regulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função
é dita periódica se existir um número positivo
tal que:
Esse número
é chamado de período da função. O menor valor positivo de
que satisfaz essa condição é chamado de período fundamental.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada:
Essa função está definida por pedaços, dependendo do valor de
em relação a
,
e
. Vamos observar como a função se comporta em intervalos de comprimento 2, já que os limites dos intervalos aumentam de 2 em 2.
Passo 4
Para verificar se a função é periódica, vamos procurar um valor de
que repita o padrão da função. Observando os intervalos:
- De
a , a função vale . - De
a , a função vale 1.
Vamos testar
:
Isso faz sentido porque, ao adicionar 2 a
, avançamos para o próximo intervalo equivalente, onde o padrão da função se repete. Portanto, a função é periódica com período
. Como não existe um período menor que 2 que satisfaça a condição acima, o período fundamental é 2.
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico da função. A função alterna entre
e 1 em cada intervalo de comprimento 1. Por exemplo:
- Para
, de a , . - De
a , . - Para
, de a , . - De
a , . - E assim por diante.
O gráfico vai alternar entre 1 e -1 a cada intervalo de 1 unidade, repetindo esse padrão a cada 2 unidades no eixo
.
Resposta
A função dada é periódica com período fundamental igual a
. O gráfico da função alterna entre os valores 1 e -1 em intervalos de 1 unidade no eixo
, repetindo esse padrão a cada 2 unidades.
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