Determine se a função dada é periódica e em caso afirmativo determine seu período fundamental. Faça uma esboço do gráfico de tais funções.
f(x) = { (-1)^n, 2n-1 <= x < 2n; 1, 2n <= x < 2n+1 }, n in Z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a função que foi dada é periódica. Se for, vamos achar qual é o período fundamental dela. Além disso, vamos fazer um esboço do gráfico dessa função. Para isso, vamos usar os conceitos de funções periódicas, entender o que significa o período de uma função e como identificar se uma função repete seus valores em intervalos regulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função é dita periódica se existir um número positivo tal que:
Esse número é chamado de período da função. O menor valor positivo de que satisfaz essa condição é chamado de período fundamental.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada:
Essa função está definida por pedaços, dependendo do valor de em relação a , e . Vamos observar como a função se comporta em intervalos de comprimento 2, já que os limites dos intervalos aumentam de 2 em 2.

Passo 4

Para verificar se a função é periódica, vamos procurar um valor de que repita o padrão da função. Observando os intervalos:
  • De a , a função vale .
  • De a , a função vale 1.
Vamos testar :
Isso faz sentido porque, ao adicionar 2 a , avançamos para o próximo intervalo equivalente, onde o padrão da função se repete. Portanto, a função é periódica com período . Como não existe um período menor que 2 que satisfaça a condição acima, o período fundamental é 2.

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico da função. A função alterna entre e 1 em cada intervalo de comprimento 1. Por exemplo:
  • Para , de a , .
  • De a , .
  • Para , de a , .
  • De a , .
  • E assim por diante.
O gráfico vai alternar entre 1 e -1 a cada intervalo de 1 unidade, repetindo esse padrão a cada 2 unidades no eixo .

Resposta

A função dada é periódica com período fundamental igual a . O gráfico da função alterna entre os valores 1 e -1 em intervalos de 1 unidade no eixo , repetindo esse padrão a cada 2 unidades.

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