Calcule a integral
integral tan ^3 x d x

Passo 1

Beleza, então temos o exercício de calcular a integral de tan^3 x , dx. Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão tan^3 x. Sabemos que tan x = sin xcos x, mas para facilitar a integração, vamos reescrever tan^3 x de uma forma que possamos aplicar uma substituição. Podemos expressar tan^3 x como tan x cdot tan^2 x.

Passo 3

Agora, lembramos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona tan^2 x com sec^2 x:
tan^2 x = sec^2 x - 1
Substituindo isso na expressão anterior:
tan^3 x = tan x (sec^2 x - 1)

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
integral tan^3 x , dx = integral tan x (sec^2 x - 1) , dx = integral tan x sec^2 x , dx - integral tan x , dx
Vamos resolver essas duas integrais separadamente.

Passo 5

Primeira integral: integral tan x sec^2 x , dx
Aqui, podemos usar a substituição. Vamos deixar u = tan x. Então, a derivada de u em relação a x é:
du = sec^2 x , dx
Portanto, sec^2 x , dx = du, e nossa integral fica:
integral u , du = u^22 + C = tan^2 x2 + C

Passo 6

Segunda integral: integral tan x , dx
Sabemos que a integral de tan x é:
integral tan x , dx = -ln|cos x| + C

Passo 7

Agora, juntando as duas integrais que calculamos:
integral tan^3 x , dx = tan^2 x2 - ln|cos x| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de tan^3 x , dx é:
integral tan^3 x , dx = tan^2 x2 - ln|cos x| + C

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