Calcule a integral

Passo 1

Beleza, então temos o exercício de calcular a integral de . Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que , mas para facilitar a integração, vamos reescrever de uma forma que possamos aplicar uma substituição. Podemos expressar como .

Passo 3

Agora, lembramos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona com :
Substituindo isso na expressão anterior:

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
Vamos resolver essas duas integrais separadamente.

Passo 5

Primeira integral:
Aqui, podemos usar a substituição. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:
Portanto, , e nossa integral fica:

Passo 6

Segunda integral:
Sabemos que a integral de é:

Passo 7

Agora, juntando as duas integrais que calculamos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de é:

Exercícios relacionados

Use integração por partes, juntamente com as técnicas desta seção, para calcular a integral.
Encontre o volume do sólido resultante se a região sob a curva de a for girada em torno do eixo .
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