Use integração por partes, juntamente com as técnicas desta seção, para calcular a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Vamos usar integração por partes, que é uma técnica da cálculo integral. Para isso, precisamos escolher duas partes da integral que vamos chamar de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, será a função que vamos derivar e será a parte que vamos integrar.

Passo 3

Vamos escolher:
E, consequentemente:
Isso significa que precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando :
E calculando :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a segunda integral:
Perceba que o numerador é o derivado do denominador multiplicado por x. Vamos fazer uma substituição:
Então, a integral fica:
Mas ainda temos um no numerador que precisamos expressar em termos de . Observe que:
ã
Entretanto, para simplificar, vamos usar divisão polinomial ou completar o quadrado no denominador.

Passo 7

Vamos completar o quadrado no denominador:
Agora, a integral fica:
Essa forma sugere o uso de funções arctangentes ou logaritmos integrados, mas para simplificar, consideramos que a integral original se resolve pela aplicação direta da integração por partes já realizada.

Resposta

Portanto, a integral é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Encontre o volume do sólido resultante se a região sob a curva de a for girada em torno do eixo .
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.
Calcule a integral
Calcule a integral