Encontre o volume do sólido resultante se a região sob a curva de a for girada em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a região sob a curva no intervalo de a é girada em torno do eixo . Vamos usar cálculo, especificamente o método dos discos, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando giramos uma curva em torno do eixo , formamos discos infinitamente finos cujo raio é dado pela função . A fórmula para o volume é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos então substituir a função na fórmula:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, agora temos:

Passo 4

Vamos simplificar a fração no integrando. Podemos fatorar o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, podemos usar a divisão polinomial ou fracionamento parcial. Vamos reescrever o numerador para facilitar:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, separamos a integral:
A primeira integral é simples:

Passo 7

Vamos resolver a segunda integral usando fracionamento parcial. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Subtraindo as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Passo 8

Agora, reescrevemos a integral:
Integrando termo a termo:
Essas integrais são logaritmos naturais:
Calculando:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão do volume:
Podemos simplificar numericamente:
ú

Resposta

O volume do sólido é aproximadamente unidades cúbicas.

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