Encontre o volume do sólido resultante se a região sob a curva
de
a
for girada em torno
do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a região sob a curva
no intervalo de
a
é girada em torno do eixo
. Vamos usar cálculo, especificamente o método dos discos, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando giramos uma curva em torno do eixo
, formamos discos infinitamente finos cujo raio é dado pela função
. A fórmula para o volume
é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos então substituir a função
na fórmula:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, agora temos:
Passo 4
Vamos simplificar a fração no integrando. Podemos fatorar o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, podemos usar a divisão polinomial ou fracionamento parcial. Vamos reescrever o numerador para facilitar:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, separamos a integral:
A primeira integral é simples:
Passo 7
Vamos resolver a segunda integral usando fracionamento parcial. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Subtraindo as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 8
Agora, reescrevemos a integral:
Integrando termo a termo:
Essas integrais são logaritmos naturais:
Calculando:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão do volume:
Podemos simplificar numericamente:
Resposta
O volume do sólido é aproximadamente
unidades cúbicas.
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