Calcule a integral
integral tan ^3 x sec x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral tan^3 x sec x , dx. Esse problema está na área de Cálculo, especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tan x = sin xcos x e sec x = 1cos x. Então, podemos reescrever a integral em termos de seno e cosseno:
integral tan^3 x sec x , dx = integral (sin xcos x)^3 cdot 1cos x , dx = integral sin^3 xcos^4 x , dx

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão. Podemos separar sin^3 x em sin^2 x cdot sin x. Sabemos que sin^2 x = 1 - cos^2 x, então:
integral sin^3 xcos^4 x , dx = integral (1 - cos^2 x) sin xcos^4 x , dx

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja u = cos x, então du = -sin x , dx ou -du = sin x , dx. Substituindo na integral:
integral (1 - u^2) (-du)u^4 = -integral 1 - u^2u^4 , du

Passo 5

Vamos simplificar a fração dentro da integral:
-integral ( 1u^4 - u^2u^4 ) , du = -integral ( u^-4 - u^-2 ) , du

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
- ( integral u^-4 , du - integral u^-2 , du ) = - ( u^-3-3 - u^-1-1 ) = - ( -13u^3 + 1u )

Passo 7

Simplificando os sinais:
13u^3 - 1u
Agora, voltamos à variável original x, lembrando que u = cos x:
13cos^3 x - 1cos x + C
Podemos escrever usando funções trigonométricas:
sec^3 x3 - sec x + C

Resposta

A integral é igual a 13 sec^3 x - sec x + C, onde C é a constante de integração.

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