Calcule a integral
integral tan ^3 x sec x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está na área de Cálculo, especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas. Vamos precisar usar técnicas de substituição e conhecer algumas identidades trigonométricas básicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e . Isso significa que podemos reescrever a integral em termos de seno e cosseno se isso ajudar.

Passo 3

Agora, observe que integral tan^3 x sec x , dx = integral (sec^2 x - 1) tan x sec x , dx pode ser escrito como . Sabendo que , podemos substituir isso na expressão:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(sec^2 x - 1) tan x sec x = sec^2 x tan x sec x - tan x sec x = sec^3 x tan x - sec x tan x
Então, a integral fica:
integral sec^3 x tan x , dx - integral sec x tan x , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Para integral u^2 , du = u^33 + C = sec^3 x3 + C , usamos substituição. Seja integral sec x tan x , dx = sec x + C , então . A integral se torna:
Para , a integral é direta:

Passo 6

Agora, juntamos os resultados das duas integrais:
sec^3 x3 - sec x + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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