Calcule a integral

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está na área de Cálculo, especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas. Vamos precisar usar técnicas de substituição e conhecer algumas identidades trigonométricas básicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e . Isso significa que podemos reescrever a integral em termos de seno e cosseno se isso ajudar.

Passo 3

Agora, observe que pode ser escrito como . Sabendo que , podemos substituir isso na expressão:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Para , usamos substituição. Seja , então . A integral se torna:
Para , a integral é direta:

Passo 6

Agora, juntamos os resultados das duas integrais:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Seja um campo de forças contínuo que move um objeto de massa ao longo de uma trajetória dada por , onde é o ponto inicial e é o ponto final de .
(a) Prove que o trabalho realizado pelo campo de forças sobre o objeto ao longo do caminho é igual a variação da energia cinética nas extremidades de .
Seja um campo de forças contínuo que move um objeto de massa ao longo de uma trajetória dada por , onde é o ponto inicial e é o ponto final de .
(b) Considerando que o campo é conservativo, mostre que a soma da energia cinética com a energia potencial do objeto permanece constante nas extremidades de .
Demonstre as fórmulas abaixo, onde e são nḿeros inteiros não negativos
.
Calcule a integral