Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse problema está na área de Cálculo, especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas. Vamos precisar usar técnicas de substituição e conhecer algumas identidades trigonométricas básicas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
e
. Isso significa que podemos reescrever a integral em termos de seno e cosseno se isso ajudar.
Passo 3
Agora, observe que
pode ser escrito como
. Sabendo que
, podemos substituir isso na expressão:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Para
, usamos substituição. Seja
, então
. A integral se torna:
Para
, a integral é direta:
Passo 6
Agora, juntamos os resultados das duas integrais:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Seja
um campo de forças contínuo que move um objeto de massa
ao longo de uma trajetória
dada por
, onde
é o ponto inicial e
é o ponto final de
.
(a) Prove que o trabalho realizado pelo campo de forças sobre o objeto ao longo do caminho é igual a variação da energia cinética nas extremidades de
.
(a) Prove que o trabalho realizado pelo campo de forças sobre o objeto ao longo do caminho
Seja
um campo de forças contínuo que move um objeto de massa
ao longo de uma trajetória
dada por
, onde
é o ponto inicial e
é o ponto final de
.
(b) Considerando que o campo é conservativo, mostre que a soma da energia cinética com a energia potencial do objeto permanece constante nas extremidades de
.
(b) Considerando que o campo
Demonstre as fórmulas abaixo, onde
e
são nḿeros inteiros não negativos
.
Calcule a integral