Seja F um campo de forças contínuo que move um objeto de massa m ao longo de uma trajetória C dada por r(t), a <= t <= b, onde r(a) = A é o ponto inicial e r(b) = B é o ponto final de C.
(b) Considerando que o campo F é conservativo, mostre que a soma da energia cinética com a energia potencial do objeto permanece constante nas extremidades de C.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um campo de forças contínuo F que move um objeto de massa m ao longo de uma trajetória C descrita por r(t), onde t varia de a até b. No início, o objeto está no ponto e termina no ponto . O conteúdo envolvido aqui é a conservação da energia em campos de forças conservativos. Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como a energia cinética e potencial se relacionam nesse contexto.

Passo 2

Um campo de forças F é chamado de conservativo se o trabalho realizado pela força depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido. Isso significa que existe uma função escalar, chamada energia potencial U, tal que . A energia potencial é uma medida da energia armazenada no sistema devido à posição do objeto no campo de forças.

Passo 3

A energia cinética K de um objeto é dada por , onde v é a velocidade do objeto. A energia cinética representa a energia de movimento do objeto. Em um campo conservativo, a variação da energia cinética está relacionada ao trabalho realizado pela força.

Passo 4

Considerando o movimento do objeto ao longo da trajetória C, o trabalho realizado pela força F é igual à variação da energia cinética:
onde e são as energias cinéticas nos pontos A e B, respectivamente.

Passo 5

Como o campo é conservativo, o trabalho W também pode ser expresso pela diferença das energias potenciais:
onde e são as energias potenciais nos pontos A e B, respectivamente.

Passo 6

Igualando as duas expressões para o trabalho, temos:
Rearranjando os termos, obtemos:

Resposta

Assim, mostramos que a soma da energia cinética K com a energia potencial U do objeto permanece constante nos pontos iniciais e finais da trajetória C:

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