Seja
um campo de forças contínuo que move um objeto de massa
ao longo de uma trajetória
dada por
, onde
é o ponto inicial e
é o ponto final de
.
(b) Considerando que o campo
é conservativo, mostre que a soma da energia cinética com a energia potencial do objeto permanece constante nas extremidades de
.
(b) Considerando que o campo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um campo de forças contínuo
que move um objeto de massa
ao longo de uma trajetória
descrita por
, onde
varia de
até
. No início, o objeto está no ponto
e termina no ponto
. O conteúdo envolvido aqui é a conservação da energia em campos de forças conservativos. Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como a energia cinética e potencial se relacionam nesse contexto.
Passo 2
Um campo de forças
é chamado de conservativo se o trabalho realizado pela força depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido. Isso significa que existe uma função escalar, chamada energia potencial
, tal que
. A energia potencial é uma medida da energia armazenada no sistema devido à posição do objeto no campo de forças.
Passo 3
A energia cinética
de um objeto é dada por
, onde
é a velocidade do objeto. A energia cinética representa a energia de movimento do objeto. Em um campo conservativo, a variação da energia cinética está relacionada ao trabalho realizado pela força.
Passo 4
Considerando o movimento do objeto ao longo da trajetória
, o trabalho realizado pela força
é igual à variação da energia cinética:
onde
e
são as energias cinéticas nos pontos
e
, respectivamente.
Passo 5
Como o campo é conservativo, o trabalho
também pode ser expresso pela diferença das energias potenciais:
onde
e
são as energias potenciais nos pontos
e
, respectivamente.
Passo 6
Igualando as duas expressões para o trabalho, temos:
Rearranjando os termos, obtemos:
Resposta
Assim, mostramos que a soma da energia cinética
com a energia potencial
do objeto permanece constante nos pontos iniciais e finais da trajetória
: