Demonstre as fórmulas abaixo, onde
e
são nḿeros inteiros não negativos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que a integral de
de
a
é igual a zero, onde
e
são inteiros não negativos. Esse problema está relacionado ao estudo de integrais de funções trigonométricas e à ortogonalidade dessas funções no intervalo dado. Para resolver, vamos usar identidades trigonométricas e propriedades de funções ímpares e pares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar uma identidade trigonométrica útil para multiplicar seno por cosseno. Sabemos que:
Essa identidade vai ajudar a simplificar a integral original.
Passo 3
Agora, substituímos a expressão da identidade na integral:
Passo 4
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 5
Agora, analisamos cada uma das integrais separadamente. Sabemos que a integral de uma função seno em um período completo simétrico em torno de zero é zero, especialmente quando os argumentos são múltiplos inteiros de
. Ou seja:
Isso ocorre porque a função seno é ímpar, e a área positiva cancela a negativa no intervalo simétrico.
Passo 6
Aplicando essa propriedade às nossas integrais:
Passo 7
Portanto, somando essas duas integrais, temos:
Resposta
A integral
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule a integral
Seja
um campo de forças contínuo que move um objeto de massa
ao longo de uma trajetória
dada por
, onde
é o ponto inicial e
é o ponto final de
.
(a) Prove que o trabalho realizado pelo campo de forças sobre o objeto ao longo do caminho é igual a variação da energia cinética nas extremidades de
.
(a) Prove que o trabalho realizado pelo campo de forças sobre o objeto ao longo do caminho
Calcule a integral
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