Demonstre as fórmulas abaixo, onde m e n são nḿeros inteiros não negativos
integral-pi^pi sen m x cos n x d x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que a integral de sin(mx) cos(nx) de -pi a pi é igual a zero, onde m e n são inteiros não negativos. Esse problema está relacionado ao estudo de integrais de funções trigonométricas e à ortogonalidade dessas funções no intervalo dado. Para resolver, vamos usar identidades trigonométricas e propriedades de funções ímpares e pares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma identidade trigonométrica útil para multiplicar seno por cosseno. Sabemos que:
sin(mx) cos(nx) = 12 [sin((m + n)x) + sin((m - n)x)]
Essa identidade vai ajudar a simplificar a integral original.

Passo 3

Agora, substituímos a expressão da identidade na integral:
integral-pi^pi sin(mx) cos(nx) , dx = 12 integral-pi^pi [sin((m + n)x) + sin((m - n)x)] , dx

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
12 ( integral-pi^pi sin((m + n)x) , dx + integral-pi^pi sin((m - n)x) , dx )

Passo 5

Agora, analisamos cada uma das integrais separadamente. Sabemos que a integral de uma função seno em um período completo simétrico em torno de zero é zero, especialmente quando os argumentos são múltiplos inteiros de x. Ou seja:
integral-pi^pi sin(kx) , dx = 0 para qualquer inteiro k
Isso ocorre porque a função seno é ímpar, e a área positiva cancela a negativa no intervalo simétrico.

Passo 6

Aplicando essa propriedade às nossas integrais:
integral-pi^pi sin((m + n)x) , dx = 0
integral-pi^pi sin((m - n)x) , dx = 0

Passo 7

Portanto, somando essas duas integrais, temos:
12 (0 + 0) = 0

Resposta

A integral integral-pi^pi sin(mx) cos(nx) , dx é igual a 0.

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