Demonstre as fórmulas abaixo, onde e são nḿeros inteiros não negativos
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que a integral de de a é igual a zero, onde e são inteiros não negativos. Esse problema está relacionado ao estudo de integrais de funções trigonométricas e à ortogonalidade dessas funções no intervalo dado. Para resolver, vamos usar identidades trigonométricas e propriedades de funções ímpares e pares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma identidade trigonométrica útil para multiplicar seno por cosseno. Sabemos que:
Essa identidade vai ajudar a simplificar a integral original.

Passo 3

Agora, substituímos a expressão da identidade na integral:

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:

Passo 5

Agora, analisamos cada uma das integrais separadamente. Sabemos que a integral de uma função seno em um período completo simétrico em torno de zero é zero, especialmente quando os argumentos são múltiplos inteiros de . Ou seja:
Isso ocorre porque a função seno é ímpar, e a área positiva cancela a negativa no intervalo simétrico.

Passo 6

Aplicando essa propriedade às nossas integrais:

Passo 7

Portanto, somando essas duas integrais, temos:

Resposta

A integral é igual a 0.

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