Seja F um campo de forças contínuo que move um objeto de massa m ao longo de uma trajetória C dada por r(t), a <= t <= b, onde r(a) = A é o ponto inicial e r(b) = B é o ponto final de C.
(a) Prove que o trabalho realizado pelo campo de forças sobre o objeto ao longo do caminho C é igual a variação da energia cinética nas extremidades de C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente provar que o trabalho feito por um campo de forças ao mover um objeto de uma posição inicial até uma final é igual à variação da energia cinética desse objeto. Isso está dentro da matéria de Mecânica Clássica, mais especificamente no Teorema do Trabalho-Energia. Para resolver, vamos precisar entender o que é trabalho, energia cinética e como elas se relacionam através do cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho. Na física, o trabalho de uma força ao mover um objeto ao longo de uma trajetória é dado pela integral do produto escalar da força pela derivada da posição em relação ao tempo:
Onde é um elemento infinitesimal da trajetória.

Passo 3

Sabemos que a força que está agindo no objeto é responsável por sua aceleração. Pela segunda lei de Newton, temos:
Onde é a massa do objeto e é a aceleração.

Passo 4

A aceleração é a derivada da velocidade em relaç��o ao tempo:
E a velocidade é a derivada da posição :

Passo 5

Substituindo na equação da força, temos:

Passo 6

Agora, vamos substituir a força na expressão do trabalho:
Aqui, usamos a parametrização da trajetória , onde varia de até .

Passo 7

Observamos que é a velocidade , então:

Passo 8

Reconhecemos que . Então:

Passo 9

Integrando, temos:
Onde e são as velocidades no ponto inicial e no ponto final , respectivamente.

Passo 10

Lembrando que a energia cinética é dada por:
Então, a variação da energia cinética entre e é:

Resposta

Portanto, provamos que o trabalho realizado pelo campo de forças ao longo do caminho é igual à variação da energia cinética nas extremidades de :

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