Seja
um campo de forças contínuo que move um objeto de massa
ao longo de uma trajetória
dada por
, onde
é o ponto inicial e
é o ponto final de
.
(a) Prove que o trabalho realizado pelo campo de forças sobre o objeto ao longo do caminho
é igual a variação da energia cinética nas extremidades de
.
(a) Prove que o trabalho realizado pelo campo de forças sobre o objeto ao longo do caminho
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente provar que o trabalho feito por um campo de forças ao mover um objeto de uma posição inicial até uma final é igual à variação da energia cinética desse objeto. Isso está dentro da matéria de Mecânica Clássica, mais especificamente no Teorema do Trabalho-Energia. Para resolver, vamos precisar entender o que é trabalho, energia cinética e como elas se relacionam através do cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho. Na física, o trabalho
de uma força
ao mover um objeto ao longo de uma trajetória
é dado pela integral do produto escalar da força pela derivada da posição em relação ao tempo:
Onde
é um elemento infinitesimal da trajetória.
Passo 3
Sabemos que a força
que está agindo no objeto é responsável por sua aceleração. Pela segunda lei de Newton, temos:
Onde
é a massa do objeto e
é a aceleração.
Passo 4
A aceleração
é a derivada da velocidade
em rela�o ao tempo:
E a velocidade
é a derivada da posição
:
Passo 5
Substituindo
na equação da força, temos:
Passo 6
Agora, vamos substituir a força na expressão do trabalho:
Aqui, usamos a parametrização da trajetória
, onde
varia de
até
.
Passo 7
Observamos que
é a velocidade
, então:
Passo 8
Reconhecemos que
. Então:
Passo 9
Integrando, temos:
Onde
e
são as velocidades no ponto inicial
e no ponto final
, respectivamente.
Passo 10
Lembrando que a energia cinética
é dada por:
Então, a variação da energia cinética entre
e
é:
Resposta
Portanto, provamos que o trabalho realizado pelo campo de forças ao longo do caminho
é igual à variação da energia cinética nas extremidades de
: