Calcule:
integral tg^5 theta cdot sec theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a integral integral tan^5 theta cdot sec theta , dtheta para resolver. Isso está dentro do estudo de Cálculo Integral, especificamente usando integração por substituição. Para resolver, vamos precisar de algumas identidades trigonométricas e escolher uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tan theta pode ser escrita como sin thetacos theta e sec theta como 1cos theta. Mas para facilitar, vamos usar uma identidade trigonométrica importante:
tan^2 theta = sec^2 theta - 1
Isso vai ajudar a simplificar a expressão da integral.

Passo 3

Vamos reescrever a integral usando a identidade que mencionamos:
integral tan^5 theta cdot sec theta , dtheta = integral (tan^2 theta)^2 cdot tan theta cdot sec theta , dtheta
Substituindo tan^2 theta por (sec^2 theta - 1), temos:
integral (sec^2 theta - 1)^2 cdot tan theta cdot sec theta , dtheta

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = sec theta
Então, a derivada de u em relação a theta é:
du = sec theta tan theta , dtheta
Observamos que sec theta tan theta , dtheta está presente na nossa integral, o que facilita a substituição.

Passo 5

Substituindo u e du na integral, ficamos com:
integral (sec^2 theta - 1)^2 cdot tan theta cdot sec theta , dtheta = integral (u^2 - 1)^2 , du

Passo 6

Vamos expandir o binômio (u^2 - 1)^2:
(u^2 - 1)^2 = u^4 - 2u^2 + 1
Então, a integral fica:
integral (u^4 - 2u^2 + 1) , du = integral u^4 , du - 2 integral u^2 , du + integral du

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral u^4 , du = u^55 + C
-2 integral u^2 , du = -2 cdot u^33 + C = -2u^33 + C
integral du = u + C
Juntando tudo:
u^55 - 2u^33 + u + C

Resposta

Substituindo u = sec theta, a integral resolvida é:
15 sec^5 theta - 23 sec^3 theta + sec theta + C

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