Calcule:
integral tg(5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de tg(5x) , dx. Aqui estamos trabalhando com integrais de funções trigonométricas, especificamente a tangente. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que nos ajuda a simplificar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tangente pode ser escrita como tg(x) = sin(x)cos(x). Então, nossa integral fica:
integral tg(5x) , dx = integral sin(5x)cos(5x) , dx

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar u = cos(5x). Então, precisamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = -5sin(5x)
Isso significa que sin(5x) , dx = -15 , du.

Passo 4

Substituindo u e sin(5x) , dx na integral original, temos:
integral sin(5x)cos(5x) , dx = integral -15 , duu = -15 integral 1u , du

Passo 5

A integral de 1u , du é ln|u| + C, onde C é a constante de integração. Então:
-15 integral 1u , du = -15 ln|u| + C

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo u = cos(5x):
-15 ln|cos(5x)| + C

Resposta

A integral de tg(5x) , dx é:
-15 ln|cos(5x)| + C

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