Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse método é útil quando a integral é o produto de duas funções, e a gente consegue simplificar a expressão aplicando uma fórmula específica. Pra isso, vamos precisar identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
Aqui, a gente escolhe como a função que fica mais simples quando derivada, e como o restante da integral.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
Então, precisamos encontrar derivando :

Passo 4

Agora, determinamos . Como , vamos integrar para encontrar :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar a segunda integral:
Podemos dividir por :
Então, a integral fica:

Passo 7

Resolvendo as integrais:
E
Portanto:

Passo 8

Agora, voltando à nossa expressão original:
Simplificando:

Resposta

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Calcule:
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Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.
Calcule as seguintes integrais trigonométricas: