Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.
integral ln (x^2+4) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse método é útil quando a integral é o produto de duas funções, e a gente consegue simplificar a expressão aplicando uma fórmula específica. Pra isso, vamos precisar identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, a gente escolhe como a função que fica mais simples quando derivada, e como o restante da integral.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = ln(x^2 + 4)
Então, precisamos encontrar du = ddx ln(x^2 + 4) , dx = 2xx^2 + 4 , dx derivando :

Passo 4

Agora, determinamos v = integral dx = x . Como , vamos integrar para encontrar :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral ln(x^2 + 4) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln(x^2 + 4) cdot x - integral x cdot 2xx^2 + 4 , dx

Passo 6

Vamos simplificar a segunda integral:
integral x cdot 2xx^2 + 4 , dx = 2 integral x^2x^2 + 4 , dx
Podemos dividir x^2x^2 + 4 = 1 - 4x^2 + 4 por 2 integral (1 - 4x^2 + 4) dx = 2 integral dx - 8 integral 1x^2 + 4 dx :
Então, a integral fica:

Passo 7

Resolvendo as integrais:
2 integral dx = 2x
E
integral 1x^2 + 4 dx = 12 arctan(x2) + C
Portanto:
2x - 8 cdot 12 arctan(x2) = 2x - 4 arctan(x2)

Passo 8

Agora, voltando à nossa expressão original:
integral ln(x^2 + 4) , dx = x ln(x^2 + 4) - (2x - 4 arctan(x2)) + C
Simplificando:
= x ln(x^2 + 4) - 2x + 4 arctan(x2) + C

Resposta

integral ln (x^2+4) dx = x ln(x^2 + 4) - 2x + 4 arctan(x2) + C

Exercícios relacionados