Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.
integral e^3 x cdot cos (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral . O conteúdo aqui é integração por partes, uma técnica útil para integrals que são produtos de duas funções. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra de integração por partes duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u = e^3x e dv = cos(2x) , dx e du = 3e^3x , dx e v = sin(2x)2 . Vamos escolher:
Agora, vamos derivar e integrar :

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^3x cos(2x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral e^3x cos(2x) , dx = e^3x cdot sin(2x)2 - integral sin(2x)2 cdot 3e^3x , dx
Simplificando:
integral e^3x cos(2x) , dx = e^3x sin(2x)2 - 32 integral e^3x sin(2x) , dx

Passo 4

Agora, temos uma nova integral u = e^3x e dv = sin(2x) , dx que também precisa ser resolvida por integração por partes. Vamos repetir o processo. Escolhemos:
du = 3e^3x , dx e v = -cos(2x)2
Derivando e integrando:

Passo 5

Aplicando a integração por partes novamente:
integral e^3x sin(2x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo:
integral e^3x sin(2x) , dx = e^3x cdot (-cos(2x)2) - integral (-cos(2x)2) cdot 3e^3x , dx
Simplificando:
integral e^3x sin(2x) , dx = -e^3x cos(2x)2 + 32 integral e^3x cos(2x) , dx

Passo 6

Vamos substituir essa expressão de volta na equação anterior:
integral e^3x cos(2x) , dx = e^3x sin(2x)2 - 32 ( -e^3x cos(2x)2 + 32 integral e^3x cos(2x) , dx )
Simplificando:
integral e^3x cos(2x) , dx = e^3x sin(2x)2 + 3e^3x cos(2x)4 - 94 integral e^3x cos(2x) , dx

Passo 7

Agora, vamos isolar a integral integral e^3x cos(2x) , dx + 94 integral e^3x cos(2x) , dx = e^3x sin(2x)2 + 3e^3x cos(2x)4 :
134 integral e^3x cos(2x) , dx = e^3x sin(2x)2 + 3e^3x cos(2x)4
Somando os termos semelhantes:

Passo 8

Finalmente, resolvemos para a integral:
integral e^3x cos(2x) , dx = 413 ( e^3x sin(2x)2 + 3e^3x cos(2x)4 ) + C
Simplificando:
integral e^3x cos(2x) , dx = 2e^3x sin(2x) + 3e^3x cos(2x)13 + C

Resposta

integral e^3x cos(2x) , dx = e^3x ( 2 sin(2x) + 3 cos(2x) )13 + C

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