Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral . O conteúdo aqui é integração por partes, uma técnica útil para integrals que são produtos de duas funções. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra de integração por partes duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Vamos escolher:
Agora, vamos derivar e integrar :

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, temos uma nova integral que também precisa ser resolvida por integração por partes. Vamos repetir o processo. Escolhemos:
Derivando e integrando:

Passo 5

Aplicando a integração por partes novamente:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Vamos substituir essa expressão de volta na equação anterior:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos isolar a integral :
Somando os termos semelhantes:

Passo 8

Finalmente, resolvemos para a integral:
Simplificando:

Resposta

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Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.
Calcule:
Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
Calcule: