Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede pra calcular . Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas, especificamente o tangente e o seno elevado a uma potência. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é igual a . Então, podemos reescrever a integral assim:

Passo 3

Simplificando a expressão dentro da integral, multiplicamos por :

Passo 4

Agora, vamos escolher uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir . Dessa forma, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Observando a integral , podemos reescrever como . Além disso, sabemos que , então:
Substituindo na integral:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Agora, integramos termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta na expressão:
Podemos simplificar os sinais:

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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Calcule.
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Calcule a integral.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.