Calcule a integral.
integral tg theta sen^4 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede pra calcular . Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas, especificamente o tangente e o seno elevado a uma potência. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integral tan theta cdot sin^4 theta , dtheta = integral sin thetacos theta cdot sin^4 theta , dtheta é igual a . Então, podemos reescrever a integral assim:

Passo 3

Simplificando a expressão dentro da integral, multiplicamos integral sin theta cdot sin^4 thetacos theta , dtheta = integral sin^5 thetacos theta , dtheta por :

Passo 4

Agora, vamos escolher uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir du = -sin theta , dtheta Rightarrow sin theta , dtheta = -du . Dessa forma, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Observando a integral sin^4 theta = (sin^2 theta)^2 = (1 - cos^2 theta)^2 = (1 - u^2)^2 , podemos reescrever integral (1 - u^2)^2 cdot sin thetau , dtheta = integral (1 - u^2)^2u cdot (-du) como . Além disso, sabemos que , então:
Substituindo na integral:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
- integral (1 - u^2)^2u , du = - integral ( 1u - 2u + u^3 ) , du
Agora, integramos termo a termo:
- ( integral 1u , du - 2 integral u , du + integral u^3 , du ) = - ( ln |u| - u^2 + u^44 ) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos - ( ln |cos theta| - cos^2 theta + cos^4 theta4 ) + C de volta na expressão:
- ln |cos theta| + cos^2 theta - cos^4 theta4 + C
Podemos simplificar os sinais:

Resposta

A integral - ln |cos theta| + cos^2 theta - cos^4 theta4 + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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