Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede pra calcular
. Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas, especificamente o tangente e o seno elevado a uma potência. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é igual a
. Então, podemos reescrever a integral assim:
Passo 3
Simplificando a expressão dentro da integral, multiplicamos
por
:
Passo 4
Agora, vamos escolher uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir
. Dessa forma, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Observando a integral
, podemos reescrever
como
. Além disso, sabemos que
, então:
Substituindo na integral:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Agora, integramos termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta na expressão:
Podemos simplificar os sinais:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.
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Calcule a integral.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.