Calcule.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos que calcular a integral
Esse exercício está relacionado ao conteúdo de cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções com raízes quadradas no denominador. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que é uma forma de simplificar a integral tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos escolher uma parte da expressão para substituir por uma variável nova, digamos . Olhando para a integral, uma boa escolha é:
Essa escolha é útil porque a derivada de em relação a é uma expressão que aparece no numerador da nossa integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar . A derivada de é:
Isso significa que:
Queremos expressar em termos de , então rearranjando a equação acima, temos:

Passo 4

Vamos substituir e na integral original. A integral fica:
Substituindo por , temos:
Aqui, usamos a regra de integrais que diz que , onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos integrar :
Agora, substituímos de volta em termos de :

Resposta

A integral é igual a
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Calcule.
Calcule a integral.