Calcule.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos que calcular a integral
Esse exercício está relacionado ao conteúdo de cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções com raízes quadradas no denominador. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que é uma forma de simplificar a integral tornando-a mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos escolher uma parte da expressão para substituir por uma variável nova, digamos
. Olhando para a integral, uma boa escolha é:
Essa escolha é útil porque a derivada de
em relação a
é uma expressão que aparece no numerador da nossa integral.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. A derivada de
é:
Isso significa que:
Queremos expressar
em termos de
, então rearranjando a equação acima, temos:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original. A integral fica:
Substituindo
por
, temos:
Aqui, usamos a regra de integrais que diz que
, onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos integrar
:
Agora, substituímos
de volta em termos de
:
Resposta
A integral é igual a
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Calcule.
Calcule a integral.