Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a integrais impróprias e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função dentro da integral, que é , nos pontos onde a integral pode ser problemática: próximo a e quando tende ao infinito ( ).

Passo 3

Vamos começar analisando o que acontece quando se aproxima de 0. Nesse caso, o termo fica próximo de 1, então a função se comporta aproximadamente como . Sabemos que a integral converge, pois é uma integral de potência com expoente maior que .

Passo 4

Agora, vamos ver o comportamento quando tende ao infinito. Para valores grandes de , o termo é aproximadamente igual a , então a função se comporta como . Sabemos que a integral também converge, pois o expoente é maior que 1.

Passo 5

Como analisamos os dois extremos (próximo a 0 e ao infinito) e vimos que a integral converge em ambos os casos, podemos concluir que a integral inteira é convergente.

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor da integral. Podemos fazer uma substituição para facilitar:
Seja , então e .
Substituindo na integral:
A integral é conhecida e igual a . Então:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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Calcule a integral.
Calcule a integral.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.