Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a integrais impróprias e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função dentro da integral, que é
, nos pontos onde a integral pode ser problemática: próximo a
e quando
tende ao infinito (
).
Passo 3
Vamos começar analisando o que acontece quando
se aproxima de 0. Nesse caso, o termo
fica próximo de 1, então a função
se comporta aproximadamente como
. Sabemos que a integral
converge, pois é uma integral de potência com expoente maior que
.
Passo 4
Agora, vamos ver o comportamento quando
tende ao infinito. Para valores grandes de
, o termo
é aproximadamente igual a
, então a função
se comporta como
. Sabemos que a integral
também converge, pois o expoente
é maior que 1.
Passo 5
Como analisamos os dois extremos (próximo a 0 e ao infinito) e vimos que a integral converge em ambos os casos, podemos concluir que a integral inteira
é convergente.
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor da integral. Podemos fazer uma substituição para facilitar:
Seja
, então
e
.
Substituindo na integral:
A integral
é conhecida e igual a
. Então:
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral.
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Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
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