Calcule a integral.
integral x ln raiz1+x^2 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral integral x ln raiz1+x^2 , dx. Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo de integrais, especificamente a integração por partes. Precisaremos também simplificar expressões logarítmicas e utilizar substituições quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que ln raiza = 12 ln a. Aplicando isso à nossa integral:
integral x ln raiz1+x^2 , dx = integral x cdot 12 ln (1 + x^2) , dx = 12 integral x ln (1 + x^2) , dx
Agora, nossa nova integral para resolver é 12 integral x ln (1 + x^2) , dx.

Passo 3

Vamos aplicar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
  • u = ln (1 + x^2)
  • dv = x , dx
Agora, calculamos du e v:
  • Derivando u:
    du = 2x1 + x^2 , dx
  • Integrando dv:
    v = integral x , dx = 12x^2

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
12 integral x ln (1 + x^2) , dx = 12 ( uv - integral v , du ) = 12 ( 12x^2 ln (1 + x^2) - integral 12x^2 cdot 2x1 + x^2 , dx )
Simplificando a integral dentro dos parênteses:
integral 12x^2 cdot 2x1 + x^2 , dx = integral x^31 + x^2 , dx

Passo 5

Para resolver integral x^31 + x^2 , dx, simplificamos a fração:
x^31 + x^2 = x - x1 + x^2
Então, a integral se torna:
integral ( x - x1 + x^2 ) , dx = 12x^2 - 12 ln (1 + x^2) + C
Substituindo de volta na expressão anterior:
12 ( 12x^2 ln (1 + x^2) - ( 12x^2 - 12 ln (1 + x^2) ) ) + C
Simplificando tudo:
14x^2 ln (1 + x^2) - 14x^2 + 14 ln (1 + x^2) + C

Resposta

A integral integral x ln raiz1+x^2 , dx é igual a
14x^2 ln (1 + x^2) - 14x^2 + 14 ln (1 + x^2) + C
onde C é a constante de integração.

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