Calcule a integral.
Passo 1
Vamos calcular a integral
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo de integrais, especificamente a integração por partes. Precisaremos também simplificar expressões logarítmicas e utilizar substituições quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que
. Aplicando isso à nossa integral:
Agora, nossa nova integral para resolver é
.
Passo 3
Vamos aplicar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos:
Agora, calculamos
e
:
-
Derivando
:
-
Integrando
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral dentro dos parênteses:
Passo 5
Para resolver
, simplificamos a fração:
Então, a integral se torna:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando tudo:
Resposta
A integral
é igual a
onde
é a constante de integração.
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Calcule.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.