Calcule a integral.

Passo 1

Vamos calcular a integral . Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo de integrais, especificamente a integração por partes. Precisaremos também simplificar expressões logarítmicas e utilizar substituições quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que . Aplicando isso à nossa integral:
Agora, nossa nova integral para resolver é .

Passo 3

Vamos aplicar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos:
Agora, calculamos e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral dentro dos parênteses:

Passo 5

Para resolver , simplificamos a fração:
Então, a integral se torna:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando tudo:

Resposta

A integral é igual a
onde é a constante de integração.

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Calcule.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.