Calcule.
Passo 1
Beleza, a gente vai calcular a integral de
. A matéria que vamos usar aqui é a frações parciais, que ajuda a quebrar frações mais complicadas em partes mais simples pra integrar. Vamos precisar identificar os denominadores e resolver para as constantes das frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão
como a soma de frações parciais. Como temos fatores lineares e quadráticos, assumimos:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos descobrir.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos expandir e simplificar essa expressão.
Passo 4
Expandindo cada termo:
Então, substituindo na equação:
Passo 5
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de cada potência de
do lado esquerdo e direito da equação.
Passo 6
Comparando os coeficientes:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
,
e
.
Passo 7
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Substituindo
e
na terceira equação:
Então,
,
e
.
Passo 8
Agora que temos os valores de
,
e
, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Passo 9
Simplificando as frações:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 10
Integrando termo a termo:
Sabemos que:
Passo 11
Aplicando as integrais:
Resposta
A integral de
é:
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Calcule.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Calcule a integral.
Calcule a integral.