Calcule.
integral 2(x+1)(x-1)^2 d x

Passo 1

Beleza, a gente vai calcular a integral de 2(x+1)(x-1)^2 dx. A matéria que vamos usar aqui é a frações parciais, que ajuda a quebrar frações mais complicadas em partes mais simples pra integrar. Vamos precisar identificar os denominadores e resolver para as constantes das frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão 2(x+1)(x-1)^2 como a soma de frações parciais. Como temos fatores lineares e quadráticos, assumimos:
2(x+1)(x-1)^2 = Ax+1 + Bx-1 + C(x-1)^2
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por (x+1)(x-1)^2 para eliminar os denominadores, temos:
2 = A(x-1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x+1)
Agora, vamos expandir e simplificar essa expressão.

Passo 4

Expandindo cada termo:
  • A(x-1)^2 = A(x^2 - 2x + 1)
  • B(x+1)(x-1) = B(x^2 - 1)
  • C(x+1) = Cx + C
Então, substituindo na equação:
2 = A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 - 1) + Cx + C

Passo 5

Agrupando os termos semelhantes:
2 = (A + B)x^2 + (-2A + C)x + (A - B + C)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de cada potência de x do lado esquerdo e direito da equação.

Passo 6

Comparando os coeficientes:
  • Para x^2: A + B = 0
  • Para x: -2A + C = 0
  • Para o termo constante: A - B + C = 2
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar A, B e C.

Passo 7

Da primeira equação: A + B = 0 Rightarrow B = -A
Da segunda equação: -2A + C = 0 Rightarrow C = 2A
Substituindo B e C na terceira equação:
A - (-A) + 2A = 2 A + A + 2A = 2 4A = 2 A = 24 = 12
Então, A = 12, B = -12 e C = 1.

Passo 8

Agora que temos os valores de A, B e C, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
2(x+1)(x-1)^2 = 12x+1 + -12x-1 + 1(x-1)^2

Passo 9

Simplificando as frações:
12cdot 1x+1 - 12cdot 1x-1 + 1(x-1)^2
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 10

Integrando termo a termo:
integral 12cdot 1x+1 dx - integral 12cdot 1x-1 dx + integral 1(x-1)^2 dx
Sabemos que:
  • integral 1x+a dx = ln|x+a| + C
  • integral 1(x+a)^2 dx = -1x+a + C

Passo 11

Aplicando as integrais:
12 ln|x+1| - 12 ln|x-1| - 1x-1 + C

Resposta

A integral de 2(x+1)(x-1)^2 dx é:
12 ln|x+1| - 12 ln|x-1| - 1x-1 + C

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