Calcule.

Passo 1

Beleza, a gente vai calcular a integral de . A matéria que vamos usar aqui é a frações parciais, que ajuda a quebrar frações mais complicadas em partes mais simples pra integrar. Vamos precisar identificar os denominadores e resolver para as constantes das frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão como a soma de frações parciais. Como temos fatores lineares e quadráticos, assumimos:
Aqui, , e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos expandir e simplificar essa expressão.

Passo 4

Expandindo cada termo:
Então, substituindo na equação:

Passo 5

Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de cada potência de do lado esquerdo e direito da equação.

Passo 6

Comparando os coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Para o termo constante:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , e .

Passo 7

Da primeira equação:
Da segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Então, , e .

Passo 8

Agora que temos os valores de , e , substituímos de volta na decomposição das frações parciais:

Passo 9

Simplificando as frações:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 10

Integrando termo a termo:
Sabemos que:

Passo 11

Aplicando as integrais:

Resposta

A integral de é:

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Calcule.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Calcule a integral.
Calcule a integral.