Calcule:
integral tg^4 x cdot sec x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente o e o . Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar integrais complexas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integral tan^4 x cdot sec x , dx = integral (sin xcos x)^4 cdot 1cos x , dx = integral sin^4 xcos^5 x , dx e . Sabendo disso, podemos reescrever a integral em termos de e :

Passo 3

Agora, vamos usar uma substituição para simplificar a integral. Observamos que no denominador temos , e no numerador . Sabemos que a derivada de é , então escolhemos . Assim, , ou seja, .

Passo 4

Precisamos ajustar a integral para usar a substituição. Vamos reescrever integral sin^4 xcos^5 x , dx = integral sin^3 x cdot sin xcos^5 x , dx como integral sin x cdot (1 - cos^2 x)cos^5 x cdot sin x , dx = integral (1 - u^2)u^5 cdot (-du) :
Sabemos que , então:

Passo 5

Simplificando a expressão:
- integral 1 - u^2u^5 , du = - integral ( u^-5 - u^-3 ) , du
Agora, vamos integrar cada termo separadamente usando a regra da potência para integrais, que diz que , onde é a constante de integração.

Passo 6

Integrando termo a termo:
- ( u^-4-4 - u^-2-2 ) + C = - ( -14u^4 + 12u^2 ) + C = 14u^4 - 12u^2 + C
Agora, substituímos 14cos^4 x - 12cos^2 x + C = sec^4 x4 - sec^2 x2 + C de volta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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