Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
integral d xx^2 raiz9 x^2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma integral que envolve substituição trigonométrica, e às vezes precisamos completar o quadrado para facilitar a resolução. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada: . Podemos reescrever isso como . Isso está no formato de , que nos permite usar uma substituição trigonométrica adequada.

Passo 3

Para integrais que têm a forma x = 23 sec(theta) , uma boa substituição trigonométrica é dx = 23 sec(theta) tan(theta) dtheta . No nosso caso, e , então vamos definir:
Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos integral dxx^2 raiz9x^2-4 = integral 23 sec(theta) tan(theta) dtheta(23 sec(theta))^2 raiz9(23 sec(theta))^2 - 4 e = integral 23 sec(theta) tan(theta) dtheta49 sec^2(theta) raiz4 sec^2(theta) - 4 na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz4 sec^2(theta) - 4 = raiz4(sec^2(theta) - 1) = raiz4 tan^2(theta) = 2 tan(theta)
Substituindo de volta na integral:
= integral 23 sec(theta) tan(theta)49 sec^2(theta) cdot 2 tan(theta) dtheta

Passo 6

Cancelamos os termos comuns:
= integral 23 sec(theta) tan(theta)89 sec^2(theta) tan(theta) dtheta = integral 2389 sec(theta) dtheta = integral 23 cdot 98 cos(theta) dtheta = integral 34 cos(theta) dtheta

Passo 7

Agora, integramos integral 34 cos(theta) dtheta = 34 sin(theta) + C :

Passo 8

Voltamos à variável original sin(theta) = raiz9x^2 - 43x . Sabemos que , então . Desenhando um triângulo retângulo onde o ângulo tem:
  • Hipotenusa:
  • Cateto adjacente: 2
Assim, o cateto oposto será . Então:

Passo 9

Substituindo 34 sin(theta) + C = 34 cdot raiz9x^2 - 43x + C = raiz9x^2 - 44x + C de volta na integral:

Resposta

A integral é igual a .

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