Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma integral que envolve substituição trigonométrica, e às vezes precisamos completar o quadrado para facilitar a resolução. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada: . Podemos reescrever isso como . Isso está no formato de , que nos permite usar uma substituição trigonométrica adequada.

Passo 3

Para integrais que têm a forma , uma boa substituição trigonométrica é . No nosso caso, e , então vamos definir:
Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Cancelamos os termos comuns:

Passo 7

Agora, integramos :

Passo 8

Voltamos à variável original . Sabemos que , então . Desenhando um triângulo retângulo onde o ângulo tem:
  • Hipotenusa:
  • Cateto adjacente: 2
Assim, o cateto oposto será . Então:

Passo 9

Substituindo de volta na integral:

Resposta

A integral é igual a .

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Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
Calcule:
Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.