Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Essa é uma integral que envolve substituição trigonométrica, e às vezes precisamos completar o quadrado para facilitar a resolução. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada:
. Podemos reescrever isso como
. Isso está no formato de
, que nos permite usar uma substituição trigonométrica adequada.
Passo 3
Para integrais que têm a forma
, uma boa substituição trigonométrica é
. No nosso caso,
e
, então vamos definir:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Cancelamos os termos comuns:
Passo 7
Agora, integramos
:
Passo 8
Voltamos à variável original
. Sabemos que
, então
. Desenhando um triângulo retângulo onde o ângulo
tem:
- Hipotenusa:
- Cateto adjacente: 2
Assim, o cateto oposto será
. Então:
Passo 9
Substituindo
de volta na integral:
Resposta
A integral
é igual a
.
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Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
Calcule:
Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.