Calcule:
integral e^-x cdot tg(e^-x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular:
integral e^-x cdot tan(e^-x) , dx
Aqui, estamos lidando com funções exponencial e tangente. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = e^-x
Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = -e^-x Rightarrow du = -e^-x , dx em relação a e^-x , dx = -du para substituir o :
Isso significa que:

Passo 3

Substituindo integral e^-x cdot tan(e^-x) , dx = integral tan(u) cdot (-du) = -integral tan(u) , du e na nossa integral original:
Agora, a integral ficou mais simples: temos que integrar a tangente de em relação a .

Passo 4

Vamos lembrar que a integral de integral tan(u) , du = -ln|cos(u)| + C é conhecida. Sabemos que:
-integral tan(u) , du = -(-ln|cos(u)| ) + C = ln|cos(u)| + C
Portanto:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, voltamos à variável original ln|cos(u)| + C = ln|cos(e^-x)| + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a:
ln|cos(e^-x)| + C
onde é a constante de integração.

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