Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
integral d x(4+x^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . O conteúdo aqui envolve integração usando substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar saber como aplicar essa técnica e, quando necessário, completar o quadrado no denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, observe que o denominador x = 2 tan theta pode ser escrito como , o que se assemelha à forma . Para resolver integrais desse tipo, usamos a substituição trigonométrica . Aqui, , então vamos definir:

Passo 3

Com essa substituição, precisamos também expressar dx = 2 sec^2 theta , dtheta em termos de . Diferenciando , temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir integral dx(4 + x^2)^2 = integral 2 sec^2 theta , dtheta(4 + (2 tan theta)^2)^2 e 4 + 4 tan^2 theta = 4 (1 + tan^2 theta) = 4 sec^2 theta na integral original:
integral 2 sec^2 theta , dtheta(4 sec^2 theta)^2 = integral 2 sec^2 theta , dtheta16 sec^4 theta = integral 216 cos^2 theta , dtheta = 18 integral cos^2 theta , dtheta
Simplificando o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para integrar cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 , usamos a identidade trigonométrica:
18 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 116 integral (1 + cos 2theta) , dtheta = 116 ( theta + sin 2theta2 ) + C
Substituindo na integral:
theta16 + sin 2theta32 + C
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável theta = tan^-1(x2) . Lembrando que sin theta = xraiz4 + x^2, cos theta = 2raiz4 + x^2 , então:
sin 2theta = 2 cdot xraiz4 + x^2 cdot 2raiz4 + x^2 = 4x4 + x^2
Além disso, usando a identidade , e sabendo que:
Portanto:

Resposta

Substituindo de volta, a integral fica:
116 tan^-1(x2) + 132 cdot 4x4 + x^2 + C = 116 tan^-1(x2) + x8(4 + x^2) + C
Então, a solução da integral é:
integral dx(4 + x^2)^2 = 116 tan^-1(x2) + x8(4 + x^2) + C

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