Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . O conteúdo aqui envolve integração usando substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar saber como aplicar essa técnica e, quando necessário, completar o quadrado no denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, observe que o denominador pode ser escrito como , o que se assemelha à forma . Para resolver integrais desse tipo, usamos a substituição trigonométrica . Aqui, , então vamos definir:

Passo 3

Com essa substituição, precisamos também expressar em termos de . Diferenciando , temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na integral original:
Simplificando o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável . Lembrando que , então:
Além disso, usando a identidade , e sabendo que:
Portanto:

Resposta

Substituindo de volta, a integral fica:
Então, a solução da integral é:

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Calcule:
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Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.