Fato: Se a função
é a inversa da função
, então vale a relação
, para todo
.
Seja
e
a funçâo inversa de
. Observando que
, responda quanto vale
?
(A) 28
(B)
©
(D)
(E) 8
Seja
(A) 28
(B)
©
(D)
(E) 8
Passo 1
Então, a gente tem uma função
e uma função
que é inversa de
. Sabemos que
. A gente precisa descobrir quanto vale a derivada da função inversa
no ponto 4, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de funções inversas e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
é a inversa de
, então
. Isso significa que, se a gente der uma função e sua inversa, elas se “desfazem”. Aí, pra achar a derivada da inversa, usamos a fórmula:
onde
.
Passo 3
No nosso caso,
e sabemos que
. Então,
porque
. Agora, precisamos calcular
.
Passo 4
Vamos derivar
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então,
Agora, substituímos
por
:
Passo 5
Agora que temos
, podemos usar a fórmula da derivada da função inversa:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine as soluções da equação
.
(a) ;
(b) e
;
© e
;
(d) e
;
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Calcule
Calcule
t)
t)
Calcule o limite
.
(a)
(b) ;
© ;
(d)
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)