Fato: Se a função g é a inversa da função f, então vale a relação g(f(x)) = x, para todo x em Dom(f).
Seja f(x) = x^5 + 3x e g a funçâo inversa de f. Observando que f(1) = 4, responda quanto vale g'(4) ?
(A) 28
(B) 1/28
© 1/128
(D) 1/8
(E) 8

Passo 1

Então, a gente tem uma função e uma função g que é inversa de f. Sabemos que . A gente precisa descobrir quanto vale a derivada da função inversa g no ponto 4, ou seja, g'(4). Para isso, vamos usar conceitos de funções inversas e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se g é a inversa de f, então . Isso significa que, se a gente der uma função e sua inversa, elas se “desfazem”. Aí, pra achar a derivada da inversa, usamos a fórmula:
onde .

Passo 3

No nosso caso, e sabemos que . Então, porque . Agora, precisamos calcular f'(1).

Passo 4

Vamos derivar . A derivada de x^5 é e a derivada de é . Então,
Agora, substituímos x por 1:

Passo 5

Agora que temos , podemos usar a fórmula da derivada da função inversa:

Resposta

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