integral cos ^5(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral cos^5(2x) dx. Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente da integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração, como a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão cos^5(2x). Um jeito legal de lidar com potências ímpares de cosseno é separar uma potência par e uma potência ímpar. Por exemplo, podemos escrever cos^5(2x) como cos^4(2x) cdot cos(2x).

Passo 3

Agora, vamos reescrever cos^4(2x) usando a identidade trigonométrica cos^2 theta = 1 + cos(2theta)2. Aplicando isso duas vezes em cos^4(2x):
cos^4(2x) = (cos^2(2x))^2 = (1 + cos(4x)2)^2

Passo 4

Expandindo o quadrado:
(1 + cos(4x)2)^2 = 14(1 + 2cos(4x) + cos^2(4x))
E novamente usamos a identidade para cos^2(4x):
cos^2(4x) = 1 + cos(8x)2
Então,
14(1 + 2cos(4x) + 1 + cos(8x)2) = 38 + cos(4x)2 + cos(8x)8

Passo 5

Voltando à nossa integral original:
integral cos^5(2x) dx = integral (38 + cos(4x)2 + cos(8x)8) cos(2x) dx
Agora, vamos distribuir a multiplicação:
= 38 integral cos(2x) dx + 12 integral cos(4x) cos(2x) dx + 18 integral cos(8x) cos(2x) dx

Passo 6

Para resolver essas integrais, usamos a identidade do produto para cossenos:
cos A cos B = 12 [cos(A+B) + cos(A-B)]
Aplicando isso:
  1. integral cos(4x) cos(2x) dx = 12 integral [cos(6x) + cos(2x)] dx
  2. integral cos(8x) cos(2x) dx = 12 integral [cos(10x) + cos(6x)] dx

Passo 7

Agora, substituindo de volta na expressão:
= 38 cdot sin(2x)2 + 12 cdot 12 ( sin(6x)6 + sin(2x)2 ) + 18 cdot 12 ( sin(10x)10 + sin(6x)6 ) + C

Passo 8

Simplificando os coeficientes:
= 316 sin(2x) + 14 ( sin(6x)6 + sin(2x)2 ) + 116 ( sin(10x)10 + sin(6x)6 ) + C

Passo 9

Finalmente, juntando tudo:
= 316 sin(2x) + sin(6x)24 + sin(2x)8 + sin(10x)160 + sin(6x)96 + C

Resposta

Portanto, a integral de cos^5(2x) é:
integral cos^5(2x) dx = 316 sin(2x) + sin(6x)24 + sin(2x)8 + sin(10x)160 + sin(6x)96 + C

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