Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
integral cos ^3(a t) d t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral da função trigonométrica cos^3(a t) em relação a t. Para resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas e técnicas de integração para reduzir a potência do cosseno e facilitar o cálculo.

Passo 2

Sabemos que para integrar funções com potências ímpares de cosseno, uma estratégia útil é separar um fator de cosseno e usar a identidade sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Então, podemos reescrever cos^3(a t) como cos^2(a t) cdot cos(a t).

Passo 3

Vamos aplicar a identidade trigonométrica sin^2(x) = 1 - cos^2(x) para substituir cos^2(a t). Assim:
cos^3(a t) = cos(a t) cdot (1 - sin^2(a t))

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral cos^3(a t) dt = integral cos(a t) (1 - sin^2(a t)) dt
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja u = sin(a t), então du = a cos(a t) dt.

Passo 5

Resolvendo para dt:
dt = dua cos(a t)
Mas temos cos(a t) dt = dua

Passo 6

Substituindo na integral:
integral cos(a t) (1 - sin^2(a t)) dt = integral (1 - u^2) cdot dua

Passo 7

Agora, podemos integrar termo a termo:
1a integral (1 - u^2) du = 1a ( u - u^33 ) + C

Passo 8

Voltando à variável original t:
u = sin(a t)
Então:
1a ( sin(a t) - sin^3(a t)3 ) + C

Resposta

A integral de cos^3(a t) dt é:
1a ( sin(a t) - sin^3(a t)3 ) + C

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