Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
integral sen^5(3 x) cdot cos (3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é uma função trigonométrica. A gente precisa calcular integral sin^5(3x) cdot cos(3x) , dx. Para isso, vamos usar substituição, que é uma técnica de integração onde trocamos uma parte da integral por uma nova variável para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da integral para substituir. Aqui, vamos deixar u = sin(3x). Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x. Então:
du = ddx[sin(3x)] , dx = 3cos(3x) , dx

Passo 3

Queremos expressar a integral em termos de u e du. Observa que na nossa integral original temos sin^5(3x) cdot cos(3x) , dx. Com u = sin(3x) e du = 3cos(3x) , dx, podemos reescrever cos(3x) , dx como du3. Substituindo na integral, temos:
integral sin^5(3x) cdot cos(3x) , dx = integral u^5 cdot du3 = 13 integral u^5 , du

Passo 4

Agora, vamos integrar u^5. A integral de u^n é u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração. Aplicando isso:
13 integral u^5 , du = 13 cdot u^66 + C = u^618 + C

Passo 5

Finalmente, voltamos à variável original x. Lembrando que u = sin(3x), substituímos de volta:
u^618 + C = sin^6(3x)18 + C

Resposta

A integral integral sin^5(3x) cdot cos(3x) , dx é igual a sin^6(3x)18 + C, onde C é a constante de integração.

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