Calcule: integral tg^7 x sec ^6 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício: integral tg^7 x sec ^6 x , dx. Esse é um problema de cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sec^2 x = 1 + tan^2 x. Como temos sec^6 x, podemos reescrever isso como (sec^2 x)^3 = (1 + tan^2 x)^3. Mas para facilitar a integração, vamos procurar uma substituição que simplifique a expressão.

Passo 3

Observando que temos um fator alto de tan x, vamos separar uma parte para facilitar a substituição. Vamos reescrever a integral assim:
integral tan^7 x sec^6 x , dx = integral tan^6 x sec^5 x cdot sec x , dx

Passo 4

Vamos usar a identidade tan^2 x = sec^2 x - 1 para reescrever tan^6 x:
tan^6 x = (tan^2 x)^3 = (sec^2 x - 1)^3
Então, a integral fica:
integral (sec^2 x - 1)^3 sec^5 x cdot sec x , dx

Passo 5

Expandindo (sec^2 x - 1)^3, temos:
(sec^2 x - 1)^3 = sec^6 x - 3sec^4 x + 3sec^2 x - 1
Substituindo de volta na integral:
integral (sec^6 x - 3sec^4 x + 3sec^2 x - 1) sec^6 x , dx

Passo 6

Agora, multiplicamos os termos:
integral sec^12 x - 3sec^10 x + 3sec^8 x - sec^6 x , dx

Passo 7

Integrar cada termo separadamente:
integral sec^12 x , dx - 3integral sec^10 x , dx + 3integral sec^8 x , dx - integral sec^6 x , dx
Cada uma dessas integrais requer técnicas avançadas de integração e podem ser resolvidas usando reduções de potência ou formulas recursivas.

Resposta

A integral integral tg^7 x sec ^6 x , dx é resolvida expandindo e integrando termo a termo, resultando em uma expressão complexa que envolve múltiplos termos de potências pares de secante.

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