Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função
usando as curvas de nível. Isso envolve conceitos de funções de duas variáveis e como visualizar essas funções no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas ajudam a construir o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função
mantém um valor constante. Ou seja, para diferentes valores de
, a equação
nos dá uma curva de nível específica.
Passo 3
Vamos determinar as curvas de nível para nossa função
. Se fixarmos
, temos:
Podemos rearranjar essa equação para facilitar o entendimento:
Isso representa uma reta com inclinação -1 no plano
para cada valor fixo de
.
Passo 4
Escolhemos alguns valores de
para desenhar as curvas de nível. Vamos por exemplo usar
.
Para
:
Para
:
E assim por diante até
:
Passo 5
Vamos plotar essas retas no plano
:
-
: passa pelos pontos (4,0) e (0,4) -
: passa pelos pontos (3,0) e (0,3) -
: passa pelos pontos (2,0) e (0,2) -
: passa pelos pontos (1,0) e (0,1) -
: passa pela origem (0,0)
Passo 6
Com essas retas desenhadas, percebemos que cada uma delas representa um nível diferente de
. Quando aumentamos
, as retas se deslocam em direção à origem. Essas curvas de nível nos ajudam a visualizar como a função
varia no espaço.
Resposta
O gráfico da função
consiste em planos inclinados onde as curvas de nível são retas paralelas com inclinação -1, deslocando-se para a origem conforme
aumenta. Assim, ao plotar várias curvas de nível no plano
, podemos visualizar o plano tridimensional que representa a função.