Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de f
a) 1/(b + sen(c)) f(x, y) = 4 - x - y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função usando as curvas de nível. Isso envolve conceitos de funções de duas variáveis e como visualizar essas funções no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas ajudam a construir o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função mantém um valor constante. Ou seja, para diferentes valores de , a equação nos dá uma curva de nível específica.

Passo 3

Vamos determinar as curvas de nível para nossa função . Se fixarmos , temos:
Podemos rearranjar essa equação para facilitar o entendimento:
Isso representa uma reta com inclinação -1 no plano para cada valor fixo de .

Passo 4

Escolhemos alguns valores de para desenhar as curvas de nível. Vamos por exemplo usar .
Para :
Para :
E assim por diante até :

Passo 5

Vamos plotar essas retas no plano :
  • : passa pelos pontos (4,0) e (0,4)
  • : passa pelos pontos (3,0) e (0,3)
  • : passa pelos pontos (2,0) e (0,2)
  • : passa pelos pontos (1,0) e (0,1)
  • : passa pela origem (0,0)

Passo 6

Com essas retas desenhadas, percebemos que cada uma delas representa um nível diferente de . Quando aumentamos , as retas se deslocam em direção à origem. Essas curvas de nível nos ajudam a visualizar como a função varia no espaço.

Resposta

O gráfico da função consiste em planos inclinados onde as curvas de nível são retas paralelas com inclinação -1, deslocando-se para a origem conforme aumenta. Assim, ao plotar várias curvas de nível no plano , podemos visualizar o plano tridimensional que representa a função.

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