Calcule: integral tg^7 x sec ^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Estamos lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas, especificamente potências de tangente e secante. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos observar as potências de integral tan^7x cdot sec^5x , dx = integral tan^6x cdot sec^4x cdot sec x tan x , dx e . Quando temos potências ímpares de ou , é útil separar uma dessas funções e usar uma identidade trigonométrica para facilitar a substituição.
Vamos separar uma da integral:

Passo 3

Agora, percebemos que tan^6x cdot sec^4x = tan^6x cdot (sec^2x)^2 = tan^6x cdot (1 + tan^2x)^2 pode ser reescrito usando a identidade . Vamos fazer isso para converter tudo em termos de :

Passo 4

Agora, vamos fazer a substituição. Vamos definir du = sec^2x , dx . Então, a derivada de em relação a é:
Mas na nossa integral, temos . Vamos ajustar isso:
Sabemos que , mas para facilitar, vamos usar a substituição , então . Precisamos manipular nossa integral para corresponder a isso.

Passo 5

Vamos reescrever a integral com a substituição integral tan^6x cdot (1 + tan^2x)^2 cdot sec x tan x , dx = integral u^6 cdot (1 + u^2)^2 cdot sec x tan x , dx :
sec^2x , dx = du Rightarrow sec x tan x , dx = dusec x
Note que é parte da derivada de , mas para se alinhar com nossa substituição , ajustamos para:
Isso pode complicar, então uma abordagem melhor é separar como e usar a identidade para .

Passo 6

Vamos simplificar a expressão usando a substituição du = sec x tan x , dx . Então, a derivada de integral tan^7x cdot sec^5x , dx = integral tan^6x cdot sec^4x cdot sec x tan x , dx = integral u^4 cdot tan^6x cdot du em relação a tan^6x = (sec^2x - 1)^3 = (u^2 - 1)^3 é:
Isso se alinha perfeitamente com parte da nossa integral. Reescrevemos a integral:
Mas precisamos expressar em termos de . Usamos a identidade :

Passo 7

Agora, substituímos na integral:
integral u^4 cdot (u^2 - 1)^3 , du
Vamos expandir (u^2 - 1)^3 = u^6 - 3u^4 + 3u^2 - 1 :
integral u^4 (u^6 - 3u^4 + 3u^2 - 1) , du = integral (u^10 - 3u^8 + 3u^6 - u^4) , du
Substituindo de volta:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
integral u^10 , du = u^1111 + C
integral -3u^8 , du = -3u^99 = -u^93
integral 3u^6 , du = 3u^77
integral -u^4 , du = -u^55
Juntando tudo:
u^1111 - u^93 + 3u^77 - u^55 + C

Passo 9

Finalmente, voltamos à variável original, lembrando que sec^11x11 - sec^9x3 + 3sec^7x7 - sec^5x5 + C :

Resposta

A integral sec^11x11 - sec^9x3 + 3sec^7x7 - sec^5x5 + C é igual a:

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