Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Estamos lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas, especificamente potências de tangente e secante. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos observar as potências de
e
. Quando temos potências ímpares de
ou
, é útil separar uma dessas funções e usar uma identidade trigonométrica para facilitar a substituição.
Vamos separar uma
da integral:
Passo 3
Agora, percebemos que
pode ser reescrito usando a identidade
. Vamos fazer isso para converter tudo em termos de
:
Passo 4
Agora, vamos fazer a substituição. Vamos definir
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Mas na nossa integral, temos
. Vamos ajustar isso:
Sabemos que
, mas para facilitar, vamos usar a substituição
, então
. Precisamos manipular nossa integral para corresponder a isso.
Passo 5
Vamos reescrever a integral com a substituição
:
Note que
é parte da derivada de
, mas para se alinhar com nossa substituição
, ajustamos para:
Isso pode complicar, então uma abordagem melhor é separar
como
e usar a identidade para
.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão usando a substituição
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso se alinha perfeitamente com parte da nossa integral. Reescrevemos a integral:
Mas precisamos expressar
em termos de
. Usamos a identidade
:
Passo 7
Agora, substituímos na integral:
Vamos expandir
:
Substituindo de volta:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Juntando tudo:
Passo 9
Finalmente, voltamos à variável original, lembrando que
:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de
Calcule:
Seja
.
Qual o valor máximo de
e em que ponto ocorre?
(a) Prove que o conjunto
é uma relação de ordem em
;