Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Estamos lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas, especificamente potências de tangente e secante. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos observar as potências de e . Quando temos potências ímpares de ou , é útil separar uma dessas funções e usar uma identidade trigonométrica para facilitar a substituição.
Vamos separar uma da integral:

Passo 3

Agora, percebemos que pode ser reescrito usando a identidade . Vamos fazer isso para converter tudo em termos de :

Passo 4

Agora, vamos fazer a substituição. Vamos definir . Então, a derivada de em relação a é:
Mas na nossa integral, temos . Vamos ajustar isso:
Sabemos que , mas para facilitar, vamos usar a substituição , então . Precisamos manipular nossa integral para corresponder a isso.

Passo 5

Vamos reescrever a integral com a substituição :
Note que é parte da derivada de , mas para se alinhar com nossa substituição , ajustamos para:
Isso pode complicar, então uma abordagem melhor é separar como e usar a identidade para .

Passo 6

Vamos simplificar a expressão usando a substituição . Então, a derivada de em relação a é:
Isso se alinha perfeitamente com parte da nossa integral. Reescrevemos a integral:
Mas precisamos expressar em termos de . Usamos a identidade :

Passo 7

Agora, substituímos na integral:
Vamos expandir :
Substituindo de volta:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
Juntando tudo:

Passo 9

Finalmente, voltamos à variável original, lembrando que :

Resposta

A integral é igual a:

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Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de
Calcule:
Seja .
Qual o valor máximo de e em que ponto ocorre?
(a) Prove que o conjunto é uma relação de ordem em ;