Refaça a seguinte demonstração vista em aula: Dados um conjunto
, uma relação de equivalência
em
e dois elementos
. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Você tem um conjunto
e uma relação de equivalência
definida nesse conjunto. Além disso, temos dois elementos qualquer
e
pertencentes a
. O objetivo é mostrar que algumas afirmações são equivalentes, isto é, que elas significam a mesma coisa dentro desse contexto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência e como funcionam as classes de equivalência, que são representadas por
.
Passo 2
Vamos começar definindo o que é uma relação de equivalência. Uma relação
em um conjunto
é chamada de relação de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
- Reflexiva: Para todo
, temos . - Simétrica: Para todos
, se então . - Transitiva: Para todos
, se e , então .
Essas propriedades garantem que podemos agrupar os elementos de
em classes de equivalência. A classe de equivalência de um elemento
é o conjunto
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação
. Pelo que definimos, isso significa que
está na classe de equivalência de
, ou seja,
. Mas queremos mostrar que essa afirmação é equivalente a outras. Vamos considerar quais podem ser essas afirmações equivalentes. Geralmente, as equivalências envolvem:
Vamos mostrar que todas essas afirmações significam a mesma coisa.
Passo 4
Primeiro, vamos mostrar que
é equivalente a
.
Explicação: Por definição,
. Então, se
, isso significa exatamente que
.
Matematicamente:
Passo 5
Agora, vamos mostrar que
é equivalente a
.
Explicação: Isso está ligado à propriedade simétrica da relação de equivalência. A simetria nos diz que se
, então necessariamente
.
Matematicamente:
Passo 6
Por fim, vamos mostrar que
é equivalente a
.
Explicação: Assim como no Passo 4,
. Portanto,
significa exatamente que
.
Matematicamente:
Resposta
Conseguimos mostrar que as seguintes afirmações são equivalentes:
Ou seja,
pertence à classe de equivalência de
se e somente se
está relacionado a
, o que, pela simetria, é o mesmo que
está relacionado a
, e, consequentemente,
pertence à classe de equivalência de
.
Exercícios relacionados
Seja
ou
. Uma função
é dita homogênea de grau
, se para todo
. Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau
Esboce os conjuntos de nível de
, para os seguintes valores de
Calcule:
Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de