Refaça a seguinte demonstração vista em aula: Dados um conjunto , uma relação de equivalência em e dois elementos . Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Você tem um conjunto e uma relação de equivalência definida nesse conjunto. Além disso, temos dois elementos qualquer e pertencentes a . O objetivo é mostrar que algumas afirmações são equivalentes, isto é, que elas significam a mesma coisa dentro desse contexto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência e como funcionam as classes de equivalência, que são representadas por .

Passo 2

Vamos começar definindo o que é uma relação de equivalência. Uma relação em um conjunto é chamada de relação de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
  1. Reflexiva: Para todo , temos .
  2. Simétrica: Para todos , se então .
  3. Transitiva: Para todos , se e , então .
Essas propriedades garantem que podemos agrupar os elementos de em classes de equivalência. A classe de equivalência de um elemento é o conjunto .

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação . Pelo que definimos, isso significa que está na classe de equivalência de , ou seja, . Mas queremos mostrar que essa afirmação é equivalente a outras. Vamos considerar quais podem ser essas afirmações equivalentes. Geralmente, as equivalências envolvem:
Vamos mostrar que todas essas afirmações significam a mesma coisa.

Passo 4

Primeiro, vamos mostrar que é equivalente a .
Explicação: Por definição, . Então, se , isso significa exatamente que .
Matematicamente:

Passo 5

Agora, vamos mostrar que é equivalente a .
Explicação: Isso está ligado à propriedade simétrica da relação de equivalência. A simetria nos diz que se , então necessariamente .
Matematicamente:

Passo 6

Por fim, vamos mostrar que é equivalente a .
Explicação: Assim como no Passo 4, . Portanto, significa exatamente que .
Matematicamente:

Resposta

Conseguimos mostrar que as seguintes afirmações são equivalentes:
Ou seja, pertence à classe de equivalência de se e somente se está relacionado a , o que, pela simetria, é o mesmo que está relacionado a , e, consequentemente, pertence à classe de equivalência de .

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