Seja
.
Qual o valor máximo de
e em que ponto ocorre?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão! A gente tem a função
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o valor máximo dessa função e descobrir em qual ponto isso acontece. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, que nos ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que a função
só depende de
, porque não tem nenhum
na expressão. Então, para achar o máximo de
, só precisamos olhar para como ela varia com
.
Passo 3
A próxima etapa é encontrar a derivada de
em relação a
. A derivada nos diz a taxa de variação da função, e quando ela é zero, a função pode atingir um ponto de máximo ou mínimo.
Vamos derivar
:
Para derivar essa fração, usamos a regra do quociente:
Passo 4
Agora, vamos achar onde essa derivada é igual a zero, porque nesse ponto a função pode ter um máximo.
Para que a fração seja zero, o numerador precisa ser zero:
Então, os candidatos são
e
.
Passo 5
Vamos verificar qual desses pontos realmente dá o valor máximo. Observando a função
:
- Para
:
- Para
:
Claramente, o valor máximo acontece quando
.
Resposta
O valor máximo de
é 2, e isso ocorre no ponto onde
. Como
não depende de
, o ponto máximo pode ser escrito como
para qualquer valor de
.
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Calcule:
Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de
(a) Prove que o conjunto
é uma relação de ordem em
;
Calcule:
(por substituição faça
).