Seja .
Qual o valor máximo de e em que ponto ocorre?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! A gente tem a função . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o valor máximo dessa função e descobrir em qual ponto isso acontece. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, que nos ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a função só depende de , porque não tem nenhum na expressão. Então, para achar o máximo de , só precisamos olhar para como ela varia com .

Passo 3

A próxima etapa é encontrar a derivada de em relação a . A derivada nos diz a taxa de variação da função, e quando ela é zero, a função pode atingir um ponto de máximo ou mínimo.
Vamos derivar :
Para derivar essa fração, usamos a regra do quociente:

Passo 4

Agora, vamos achar onde essa derivada é igual a zero, porque nesse ponto a função pode ter um máximo.
Para que a fração seja zero, o numerador precisa ser zero:
Então, os candidatos são e .

Passo 5

Vamos verificar qual desses pontos realmente dá o valor máximo. Observando a função :
  • Para :
  • Para :
Claramente, o valor máximo acontece quando .

Resposta

O valor máximo de é 2, e isso ocorre no ponto onde . Como não depende de , o ponto máximo pode ser escrito como para qualquer valor de .

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Calcule:
Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de
(a) Prove que o conjunto é uma relação de ordem em ;
Calcule: (por substituição faça ).