Calcule.
integral tg x sec ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente técnicas de integração como substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma função para substituir. Olhando para a integral, percebemos que temos u = sec x e . Uma boa estratégia é deixar uma dessas funções ser derivada da outra. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de du = ddx (sec x) , dx = sec x tan x , dx em relação a sec x tan x , dx = du para termos :
Então, podemos isolar :

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de integral tan x cdot sec^3 x , dx = integral sec^2 x cdot (tan x cdot sec x , dx) . Observamos que:
integral u^2 , du
Substituindo por e por (já que ):

Passo 5

Agora, basta integrar integral u^2 , du = u^33 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u^33 + C = sec^3 x3 + C de volta por :

Resposta

integral tan x cdot sec^3 x , dx = sec^3 x3 + C

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