Calcule a integral. integral tg^2(2 x) sec ^5(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente calcule a integral . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica básica: integral tan^2(2x) sec^5(2x) , dx = integral ( sec^2(2x) - 1 ) sec^5(2x) , dx . Aplicando isso na nossa integral:

Passo 3

Agora, distribuímos a integral sec^2(2x) cdot sec^5(2x) , dx - integral sec^5(2x) , dx = integral sec^7(2x) , dx - integral sec^5(2x) , dx dentro dos parênteses:

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Para integrais de integral sec^5(2x) , dx = sec^3(2x)tan(2x)6 + 16 integral sec^3(2x) , dx , onde integral sec^7(2x) , dx = sec^5(2x)tan(2x)10 + 310 integral sec^5(2x) , dx é ímpar, uma técnica comum é separar um e usar substituição.
Primeiro, para :
E para :

Passo 5

Agora, substituímos a integral de integral sec^7(2x) , dx = sec^5(2x)tan(2x)10 + 310 ( sec^3(2x)tan(2x)6 + 16 integral sec^3(2x) , dx ) que encontramos anteriormente na expressão da integral de :
Simplificando e resolvendo as integrais restantes, chegamos a uma expressão final combinando todos os termos.

Resposta

Após simplificar e resolver as integrais, a solução final é:
integral tan^2(2x) sec^5(2x) , dx = sec^5(2x)tan(2x)10 - sec^3(2x)tan(2x)18 + 154 ln|sec(2x) + tan(2x)| + C
onde é a constante de integração.

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