Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente calcule a integral
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica básica:
. Aplicando isso na nossa integral:
Passo 3
Agora, distribuímos a
dentro dos parênteses:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Para integrais de
, onde
é ímpar, uma técnica comum é separar um
e usar substituição.
Primeiro, para
:
E para
:
Passo 5
Agora, substituímos a integral de
que encontramos anteriormente na expressão da integral de
:
Simplificando e resolvendo as integrais restantes, chegamos a uma expressão final combinando todos os termos.
Resposta
Após simplificar e resolver as integrais, a solução final é:
onde
é a constante de integração.