Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente calcule a integral
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica básica:
. Aplicando isso na nossa integral:
Passo 3
Agora, distribuímos a
dentro dos parênteses:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Para integrais de
, onde
é ímpar, uma técnica comum é separar um
e usar substituição.
Primeiro, para
:
E para
:
Passo 5
Agora, substituímos a integral de
que encontramos anteriormente na expressão da integral de
:
Simplificando e resolvendo as integrais restantes, chegamos a uma expressão final combinando todos os termos.
Resposta
Após simplificar e resolver as integrais, a solução final é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
(Equações de Bernuolli) São as equações do tipo
. Vimos que a substituição
reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equações de Bernoulli abaixo:
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida.
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