Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente calcule a integral . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica básica: . Aplicando isso na nossa integral:

Passo 3

Agora, distribuímos a dentro dos parênteses:

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Para integrais de , onde é ímpar, uma técnica comum é separar um e usar substituição.
Primeiro, para :
E para :

Passo 5

Agora, substituímos a integral de que encontramos anteriormente na expressão da integral de :
Simplificando e resolvendo as integrais restantes, chegamos a uma expressão final combinando todos os termos.

Resposta

Após simplificar e resolver as integrais, a solução final é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
(Equações de Bernuolli) São as equações do tipo . Vimos que a substituição reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equações de Bernoulli abaixo:
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida.
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