Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de valor inicial juntos! O enunciado é:
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares:
Isso significa dividir todos os termos por :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, encontramos o fator integrante ( ) usando a fórmula:
Substituindo :
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante:
Simplificando:
Perceba que agora o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para :

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar :
Então:

Passo 8

Substituindo de volta na solução geral:
Simplificando:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Essa solução é válida para todo diferente de zero, ou seja, no intervalo .

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(Equações de Bernuolli) São as equações do tipo . Vimos que a substituição reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equações de Bernoulli abaixo:
Calcule a integral.
Uma partícula se desloca num campo de forças . Calcule o trabalho entre os pontos e , em que e .
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida.
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