Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de valor inicial juntos! O enunciado é:
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares:
Isso significa dividir todos os termos por
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, encontramos o fator integrante (
) usando a fórmula:
Substituindo
:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante:
Simplificando:
Perceba que agora o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Então:
Passo 8
Substituindo
de volta na solução geral:
Simplificando:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Essa solução é válida para todo
diferente de zero, ou seja, no intervalo
.
Exercícios relacionados
(Equações de Bernuolli) São as equações do tipo
. Vimos que a substituição
reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equações de Bernoulli abaixo:
Calcule a integral.
Uma partícula se desloca num campo de forças
. Calcule o trabalho entre os pontos
e
, em que
e
.
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida.
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