Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções! A questão pede para a gente encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função definida por partes:
Para isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem de uma função, além de saber como desenhar gráficos de funções lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função , temos duas partes:
para
para
Aqui, não há nenhuma restrição como divisão por zero ou raiz quadrada de número negativo. Então, o domínio inclui todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos para a imagem. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Como ambas as partes da função são lineares, elas vão gerar todos os valores possíveis de à medida que varia.
Para com :
Quando :
Conforme diminui, vai diminuindo sem limites.
Para com :
Quando :
Conforme aumenta, vai diminuindo sem limites.
Então, a imagem também é todos os números reais.
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico da função. Vamos analisar cada parte:
Para :
A função é , que é uma reta com inclinação 6 e intercepto em 7. Já sabemos que em , .
Para :
A função é , que é uma reta com inclinação -1 e intercepto em 4. Em , .
Note que em , as duas partes da função têm valores diferentes ( e ), então há um ponto de descontinuidade nesse ponto.
Resposta
Domínio: Todos os números reais ().
Imagem: Todos os números reais ().
Gráfico: Uma função definida por duas retas, para e para , com um ponto de descontinuidade em .