Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções! A questão pede para a gente encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função definida por partes:
Para isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem de uma função, além de saber como desenhar gráficos de funções lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função , temos duas partes:
  1. para
  2. para
Aqui, não há nenhuma restrição como divisão por zero ou raiz quadrada de número negativo. Então, o domínio inclui todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos para a imagem. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Como ambas as partes da função são lineares, elas vão gerar todos os valores possíveis de à medida que varia.
Para com :
  • Quando :
  • Conforme diminui, vai diminuindo sem limites.
Para com :
  • Quando :
  • Conforme aumenta, vai diminuindo sem limites.
Então, a imagem também é todos os números reais.

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico da função. Vamos analisar cada parte:
  1. Para :
    A função é , que é uma reta com inclinação 6 e intercepto em 7. Já sabemos que em , .
  2. Para :
    A função é , que é uma reta com inclinação -1 e intercepto em 4. Em , .
Note que em , as duas partes da função têm valores diferentes ( e ), então há um ponto de descontinuidade nesse ponto.

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais ( ).
  • Imagem: Todos os números reais ( ).
  • Gráfico: Uma função definida por duas retas, para e para , com um ponto de descontinuidade em .

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Calcule a integral.