(Equações de Bernuolli) São as equações do tipo
. Vimos que a substituição
reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equações de Bernoulli abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma equação do tipo Bernoulli:
. Esse tipo de equação tem a forma geral
. Para resolvermos, precisamos usar uma substituição que transforma essa equação em uma equação linear.
Passo 2
Vamos reescrever a equação dada na forma padrão de Bernoulli. Dividindo todos os termos por
, temos:
Aqui, identificamos que
,
e
.
Passo 3
Agora, fazemos a substituição
. Isso simplifica a equação de Bernoulli para uma equação linear em termos de
. Vamos derivar
em relação a
:
Rearranjando, obtemos:
Passo 4
Substituindo
na equação original, temos:
Dividindo toda a equação por
:
Lembrando que
, substituímos:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação por
para simplificar:
Agora, temos uma equação linear na forma
, onde
e
.
Passo 6
Calculamos o fator integrante
:
Multiplicamos a equação linear pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Calculando a integral:
Multiplicando por
:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Tomando o inverso e a raiz quadrada:
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli dada é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule a integral.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida.
;
Uma partícula se desloca num campo de forças
. Calcule o trabalho entre os pontos
e
, em que
e
.