(Equações de Bernuolli) São as equações do tipo . Vimos que a substituição reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equações de Bernoulli abaixo:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma equação do tipo Bernoulli: . Esse tipo de equação tem a forma geral . Para resolvermos, precisamos usar uma substituição que transforma essa equação em uma equação linear.

Passo 2

Vamos reescrever a equação dada na forma padrão de Bernoulli. Dividindo todos os termos por , temos:
Aqui, identificamos que , e .

Passo 3

Agora, fazemos a substituição . Isso simplifica a equação de Bernoulli para uma equação linear em termos de . Vamos derivar em relação a :
Rearranjando, obtemos:

Passo 4

Substituindo na equação original, temos:
Dividindo toda a equação por :
Lembrando que , substituímos:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação por para simplificar:
Agora, temos uma equação linear na forma , onde e .

Passo 6

Calculamos o fator integrante :
Multiplicamos a equação linear pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Calculando a integral:
Multiplicando por :

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Tomando o inverso e a raiz quadrada:

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli dada é:
onde é a constante de integração.

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;
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