Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
f) sumn=1^+infty pi^n3^n+1

Passo 1

Então, a gente tem uma série geométrica para analisar: . Vamos ver se essa série converge ou diverge. Se convergir, a gente também vai calcular a soma dela. Para isso, precisamos lembrar das características das séries geométricas e das condições para convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma mais simples. Observa que podemos separar a expressão pi^n3^n+1 = 13 ( pi3 )^n assim:
sumn=1^+infty 13 ( pi3 )^n = 13 sumn=1^+infty ( pi3 )^n
Então, nossa série fica:

Passo 3

Agora, lembrando da definição de uma série geométrica, ela tem a forma:
sumn=0^+infty ar^n
onde é o primeiro termo e é a razão. No nosso caso, começamos a partir de , mas isso não muda a análise de convergência. A série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1. Se , a série diverge.

Passo 4

Vamos identificar o valor de r = pi3 na nossa série:
|r| = | pi3 | approx 3,14163 approx 1,0472
Calculando o valor absoluto:
Como , isso significa que a série geométrica diverge.

Resposta

A série geométrica diverge.

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