Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. O conteúdo que vamos usar aqui é o de integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. Precisaremos aplicar essa técnica duas vezes para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que serão
e
na fórmula de integração por partes:
.
Vamos escolher:
-
(porque sua derivada é mais simples) -
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
:
-
(a derivada de é ) -
(a integral de é )
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral
usando novamente integração por partes.
Escolhemos:
Calculando:
Passo 6
Aplicando integração por partes novamente:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à nossa equação anterior:
Vamos chamar
para simplificar:
Rearranjando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
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Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Calcule:
Calcule:
Usando a definição mostre que:
.