Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é o de integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. Precisaremos aplicar essa técnica duas vezes para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que serão e na fórmula de integração por partes: .
Vamos escolher:
  • (porque sua derivada é mais simples)

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar :
  • (a derivada de é )
  • (a integral de é )

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral usando novamente integração por partes.
Escolhemos:
Calculando:

Passo 6

Aplicando integração por partes novamente:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 7

Voltando à nossa equação anterior:
Vamos chamar para simplificar:
Rearranjando:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

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Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Calcule:
Calcule:
Usando a definição mostre que: .