Calcule: integral e^3 z cos (4 z) d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é o de integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. Precisaremos aplicar essa técnica duas vezes para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que serão e na fórmula de integração por partes: .
Vamos escolher:
  • (porque sua derivada é mais simples)

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar :
  • (a derivada de é )
  • (a integral de é )

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^3 z cos (4 z) , dz = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores:
= cos(4z) cdot e^3z3 - integral e^3z3 cdot (-4 sin(4z)) , dz
Simplificando:
= e^3z cos(4z)3 + 43 integral e^3z sin(4z) , dz

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral usando novamente integração por partes.
Escolhemos:
Calculando:

Passo 6

Aplicando integração por partes novamente:
integral e^3z sin(4z) , dz = u cdot v - integral v , du
Substituindo:
= sin(4z) cdot e^3z3 - integral e^3z3 cdot 4 cos(4z) , dz
Simplificando:
= e^3z sin(4z)3 - 43 integral e^3z cos(4z) , dz

Passo 7

Voltando à nossa equação anterior:
integral e^3 z cos (4 z) , dz = e^3z cos(4z)3 + 43 ( e^3z sin(4z)3 - 43 integral e^3z cos(4z) , dz )
Vamos chamar I = e^3z cos(4z)3 + 43 cdot e^3z sin(4z)3 - 169 I para simplificar:
I + 169 I = e^3z cos(4z)3 + 4 e^3z sin(4z)9
Rearranjando:
259 I = e^3z (3 cos(4z) + 4 sin(4z))9
I = e^3z (3 cos(4z) + 4 sin(4z))25 + C
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

integral e^3 z cos (4 z) , dz = e^3 z ( 3 cos(4 z) + 4 sin(4 z) )25 + C

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