Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função que é definida por partes. Vamos precisar entender o que são domínio e imagem, além de saber como lidar com funções definidas por pedaços.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando a função :
Aqui, a função está definida para três intervalos de : , (porque ) e . Não há nenhum valor de que não seja coberto por esses intervalos, então o domínio é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Vamos analisar cada pedaço:
  1. Para :
    Como vai até , também vai até , mas no limite quando se aproxima de , será .
  2. Para :
    Quando , e quando , . Então, nesse intervalo, varia de a .
  3. Para :
    Aqui, é sempre .
Juntando tudo, os valores de vão de até .

Passo 4

Agora, vamos esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos desenhar cada pedaço:
  1. Para : Linha reta com inclinação 1, começando de e chegando até o ponto .
  2. Para : Linha reta com inclinação , conectando o ponto ao ponto .
  3. Para : Linha horizontal em , começando no ponto e indo até .

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais).
  • Imagem: .
  • Gráfico: O gráfico é formado por três partes:
    1. Uma reta crescente para que se aproxima de quando se aproxima de .
    2. Uma reta decrescente entre e , indo de até .
    3. Uma linha horizontal em para .

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