Calcule a integral integral e^-theta cos (2 theta) d theta

Passo 1

Vamos resolver a integral integral e^-theta cos (2 theta) d theta. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes, que nos ajuda a integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. Vamos definir:
u = e^-theta e dv = cos(2theta) dtheta

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
du = ddtheta e^-theta dtheta = -e^-theta dtheta
v = integral cos(2theta) dtheta = 12 sin(2theta)

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^-theta cos(2theta) dtheta = u v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= e^-theta cdot 12 sin(2theta) - integral 12 sin(2theta) cdot (-e^-theta) dtheta
= 12 e^-theta sin(2theta) + 12 integral e^-theta sin(2theta) dtheta

Passo 5

Agora, temos uma nova integral: integral e^-theta sin(2theta) dtheta. Vamos aplicar novamente a integração por partes, definindo:
u = e^-theta e dv = sin(2theta) dtheta

Passo 6

Calculando du e v para essa nova integral:
du = -e^-theta dtheta
v = -12 cos(2theta)

Passo 7

Aplicando a integração por partes na nova integral:
integral e^-theta sin(2theta) dtheta = u v - integral v , du
Substituindo:
= e^-theta cdot (-12cos(2theta)) - integral (-12cos(2theta)) cdot (-e^-theta) dtheta
= -12 e^-theta cos(2theta) - 12 integral e^-theta cos(2theta) dtheta

Passo 8

Agora, substituímos essa expressão na equação anterior:
integral e^-theta cos(2theta) dtheta = 12 e^-theta sin(2theta) + 12 ( -12 e^-theta cos(2theta) - 12 integral e^-theta cos(2theta) dtheta )
Simplificando:
integral e^-theta cos(2theta) dtheta = 12 e^-theta sin(2theta) - 14 e^-theta cos(2theta) - 14 integral e^-theta cos(2theta) dtheta

Passo 9

Vamos chamar a integral original de I:
I = integral e^-theta cos(2theta) dtheta
Substituindo na equação:
I = 12 e^-theta sin(2theta) - 14 e^-theta cos(2theta) - 14 I
Agora, somando 14 I aos dois lados:
I + 14 I = 12 e^-theta sin(2theta) - 14 e^-theta cos(2theta)
54 I = 12 e^-theta sin(2theta) - 14 e^-theta cos(2theta)

Passo 10

Resolvendo para I:
I = ( 12 e^-theta sin(2theta) - 14 e^-theta cos(2theta) ) cdot 45
I = 25 e^-theta sin(2theta) - 15 e^-theta cos(2theta) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é
integral e^-theta cos (2 theta) d theta = 25 e^-theta sin(2theta) - 15 e^-theta cos(2theta) + C
onde C é a constante de integração.

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