Calcule a integral
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes, que nos ajuda a integrar produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, temos uma nova integral:
. Vamos aplicar novamente a integração por partes, definindo:
Passo 6
Calculando
e
para essa nova integral:
Passo 7
Aplicando a integração por partes na nova integral:
Substituindo:
Passo 8
Agora, substituímos essa expressão na equação anterior:
Simplificando:
Passo 9
Vamos chamar a integral original de
:
Substituindo na equação:
Agora, somando
aos dois lados:
Passo 10
Resolvendo para
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é
onde
é a constante de integração.