Calcule a integral

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes, que nos ajuda a integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, temos uma nova integral: . Vamos aplicar novamente a integração por partes, definindo:

Passo 6

Calculando e para essa nova integral:

Passo 7

Aplicando a integração por partes na nova integral:
Substituindo:

Passo 8

Agora, substituímos essa expressão na equação anterior:
Simplificando:

Passo 9

Vamos chamar a integral original de :
Substituindo na equação:
Agora, somando aos dois lados:

Passo 10

Resolvendo para :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é
onde é a constante de integração.

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