Se
é uma função contínua em um determinado ponto
e além disso ela é par, prove que ela é também contínua no ponto
. E se em vez de par ela for ímpar, ainda vale a mesma conclusão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se a função
é contínua em um ponto
e é uma função par, então ela também é contínua em
. Além disso, temos que verificar se o mesmo acontece quando
é ímpar. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de continuidade de funções e funções pares e ímpares.
Passo 2
Primeiro, lembra o que significa a função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos focar na propriedade de
ser uma função par. Por definição, uma função
é par se para todo
no domínio de
, temos:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 4
Queremos provar que
também é contínua em
. Para isso, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Fazendo uma mudança de variável, seja
. Quando
, então
. Substituindo na expressão do limite:
Como
é par,
. Então:
E, já que
(porque
é par):
Passo 5
Agora, vamos analisar o caso em que
é uma função ímpar. Uma função
é ímpar se para todo
no domínio de
, temos:
Vamos calcular o limite quando
se aproxima de
:
E, como
:
Resposta
Então, concluímos que se
é uma função contínua em
e é par ou ímpar, ela também é contínua em
.
Exercícios relacionados
Calcule
de modo que as funções abaixo sejam contínuas:
Calcule a integral
Se
existe, o que pode ser dito sobre
?
A Companhia Ace de aluguel de caminhões aluga certo modelo de caminhão a
por dia e 15 centavos por milha, enquanto a Companhia Acme de aluguel de caminhões aluga o mesmo modelo a
por dia e 20 centavos por milha. De qual companhia um cliente deve alugar um caminhão por um dia se ele planeja percorrer no máximo 70 milhas e deseja fazê-lo ao menor custo possível?