Se é uma função contínua em um determinado ponto e além disso ela é par, prove que ela é também contínua no ponto . E se em vez de par ela for ímpar, ainda vale a mesma conclusão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se a função é contínua em um ponto e é uma função par, então ela também é contínua em . Além disso, temos que verificar se o mesmo acontece quando é ímpar. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de continuidade de funções e funções pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, lembra o que significa a função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:

Passo 3

Agora, vamos focar na propriedade de ser uma função par. Por definição, uma função é par se para todo no domínio de , temos:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo .

Passo 4

Queremos provar que também é contínua em . Para isso, vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Fazendo uma mudança de variável, seja . Quando , então . Substituindo na expressão do limite:
Como é par, . Então:
E, já que (porque é par):

Passo 5

Agora, vamos analisar o caso em que é uma função ímpar. Uma função é ímpar se para todo no domínio de , temos:
Vamos calcular o limite quando se aproxima de :
E, como :

Resposta

Então, concluímos que se é uma função contínua em e é par ou ímpar, ela também é contínua em .

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