Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas:
f(x) = { (p*x - 4*p) / (x - 2 - raiz(x)), se x > 4; p^2 * x * sec(x - 4), se x <= 4 }

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida em partes e queremos encontrar o valor de que faz com que essa função seja contínua. A função é:
Para garantir que seja contínua, precisamos que os limites das duas partes da função sejam iguais no ponto onde elas se encontram, ou seja, em .

Passo 2

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 4 pela direita ( ):
Substituindo :
Essa forma indeterminada nos permite usar a Regra de L’Hôpital. Derivando o numerador e o denominador:
Numerador derivado:
Denominador derivado:
Avaliado em :
Então, o limite fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 4 pela esquerda ( ):
Substituindo :

Passo 4

Para que a função seja contínua em , os dois limites devem ser iguais:
Simplificando a equação:

Passo 5

Resolvendo a equação :

Resposta

Os valores de que tornam a função contínua são ou .

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