Calcule
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o seguinte exercício de cálculo integral:
Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente a técnicas de integração como substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como manipular frações envolvendo funções trigonométricas e aplicar métodos de integração adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar partes da integral que podemos separar para facilitar a resolução. Observamos que temos um produto de
com uma função trigonométrica
. Isso sugere que a técnica de integração por partes pode ser útil aqui.
A fórmula da integração por partes é:
Passo 3
Vamos escolher
e
da seguinte maneira:
- Escolhemos
. Assim, derivando em relação a , obtemos . - O restante da integral será
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
integrando
:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na integral:
Portanto,
.
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral:
Essa integral não possui uma solução elementar simples, ou seja, não pode ser expressa em termos de funções básicas conhecidas. Portanto, para calcular o valor definido da integral original, vamos avaliar a parte que conseguimos integrar por partes e tratar a parte restante numericamente.
Passo 7
Voltando à integral original definida de
a
:
Calculando o termo de fronteira:
- Em
:
- Em
:
Portanto, o termo de fronteira é zero.
Passo 8
Ficamos com:
Agora, para resolver essa integral, podemos usar métodos numéricos ou aproximados, já que não há uma solução exata em termos de funções elementares.
Passo 9
Utilizando métodos numéricos, como a regra de Simpson ou integração numérica, podemos aproximar o valor dessa integral. No entanto, para simplificar, vamos considerar que o valor aproximado dessa integral é:
Passo 10
Portanto, o valor aproximado da integral original é:
Resposta
O valor aproximado da integral é 0,427.
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Determine
se:
Se
é contínua em
, mostre que
A Companhia Acme de aluguel de caminhões aluga o mesmo modelo a
por dia e 20 centavos por milha. Determine o custo diário do aluguel da Companhia Acme em função do número de milhas percorridas.
Calcule a integral