Calcule a integral transformando-a em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma integral tripla em coordenadas cartesianas e a tarefa é calcular essa integral transformando para coordenadas cilíndricas. Ou seja, vamos mudar a forma como estamos descrevendo o espaço para facilitar a resolução. Para isso, precisamos saber como transformar as coordenadas, os limites de integração e ajustar a função que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cartesianas, usamos , e . Já em coordenadas cilíndricas, usamos (distância radial), (ângulo) e . A relação entre elas é:
E o elemento de volume muda para:
Isso é importante porque precisamos ajustar a nossa integral original para essa nova forma.

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração na integral original:
Observamos que varia de a , varia de a , e varia de a . Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em indo de a (já que ), de a (completando o círculo), e variando de a .

Passo 4

Vamos reescrever a função que estamos integrando em coordenadas cilíndricas. A função original é . Sabendo que , temos:
Então, nossa integral em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui, multiplicamos por devido ao elemento de volume .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a :
Substituindo na integral:
Agora, integramos em relação a :
Substituindo de volta:

Resposta

O valor da integral é .

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