Calcule a integral transformando-a em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma integral tripla em coordenadas cartesianas e a tarefa é calcular essa integral transformando para coordenadas cilíndricas. Ou seja, vamos mudar a forma como estamos descrevendo o espaço para facilitar a resolução. Para isso, precisamos saber como transformar as coordenadas, os limites de integração e ajustar a função que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cartesianas, usamos
,
e
. Já em coordenadas cilíndricas, usamos
(distância radial),
(ângulo) e
. A relação entre elas é:
E o elemento de volume muda para:
Isso é importante porque precisamos ajustar a nossa integral original para essa nova forma.
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração na integral original:
Observamos que
varia de
a
,
varia de
a
, e
varia de
a
. Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em
indo de
a
(já que
),
de
a
(completando o círculo), e
variando de
a
.
Passo 4
Vamos reescrever a função que estamos integrando em coordenadas cilíndricas. A função original é
. Sabendo que
, temos:
Então, nossa integral em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui, multiplicamos por
devido ao elemento de volume
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a
:
Substituindo na integral:
Agora, integramos em relação a
:
Substituindo de volta:
Resposta
O valor da integral é
.
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Mostre que o par de funcões
e
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