Calcule a integral transformando-a em coordenadas cilíndricas.
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integralx^2+y^2^2-x^2-y^2(x^2+y^2)^3 / 2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma integral tripla em coordenadas cartesianas e a tarefa é calcular essa integral transformando para coordenadas cilíndricas. Ou seja, vamos mudar a forma como estamos descrevendo o espaço para facilitar a resolução. Para isso, precisamos saber como transformar as coordenadas, os limites de integração e ajustar a função que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cartesianas, usamos x = r cos theta, y = r sin theta, z = z , dV = r, dr, dtheta, dz e . Já em coordenadas cilíndricas, usamos (distância radial), (ângulo) e . A relação entre elas é:
E o elemento de volume muda para:
Isso é importante porque precisamos ajustar a nossa integral original para essa nova forma.

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração na integral original:
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integralx^2+y^2^2-x^2-y^2 (x^2 + y^2)^3/2 dz, dy, dx
Observamos que varia de a , varia de a , e varia de a . Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em indo de a (já que ), de a (completando o círculo), e variando de a .

Passo 4

Vamos reescrever a função que estamos integrando em coordenadas cilíndricas. A função original é (x^2 + y^2)^3/2 = (r^2)^3/2 = r^3 . Sabendo que integral0^2pi integral0^1 integralr^2^2 - r^2 r^3 cdot r, dz, dr, dtheta , temos:
Então, nossa integral em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui, multiplicamos por devido ao elemento de volume .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a integralr^2^2 - r^2 dz = (2 - r^2) - (r^2) = 2 - 2r^2 :
integral0^2pi integral0^1 r^3 cdot (2 - 2r^2) , dr, dtheta = 2 integral0^2pi integral0^1 (r^3 - r^5) , dr, dtheta
Substituindo na integral:
integral0^1 (r^3 - r^5) , dr = [r^44 - r^66]0^1 = (14 - 16) = 112
Agora, integramos em relação a 2 integral0^2pi 112 , dtheta = 16 integral0^2pi dtheta = 16 cdot 2pi = pi3 :
Substituindo de volta:

Resposta

O valor da integral é .

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