Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e precisa usar o método de Frobenius para encontrar duas soluções em série que não sejam parecidas, ou seja, linearmente independentes, em torno do ponto singular regular . A equação é:
Para resolver isso usando o método de Frobenius, vamos precisar entender um pouquinho sobre pontos singulares, séries de potências e como encontrar as soluções passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão para aplicar o método de Frobenius. Isso significa dividir tudo por para que o coeficiente de seja 1:
Agora, identifiquemos os coeficientes:

Passo 3

No método de Frobenius, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui, é o indicial que precisamos encontrar, e são os coeficientes da série.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 5

Substituímos , e na equação diferencial:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 7

Agora, juntamos todos os termos de potência similar:
Combine os termos com e :

Passo 8

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero. Vamos começar com o menor expoente, que ocorre quando :
Simplificando:
Como (para ter uma solução não trivial), obtemos a equação indicial:

Passo 9

Resolvendo a equação indicial:
Esses são os valores de que vamos usar para encontrar as soluções em série.

Passo 10

Vamos agora encontrar as soluções para cada valor de . Vamos começar com .
Para , a equação de recorrência é obtida igualando os coeficientes de e a zero para :
Para simplificar, vamos resolver a recorrência para .

Passo 11

Simplificando a primeira recorrência:
Para :
Isso sugere que, para , além de , todos os outros são zero, o que não é interessante. Parece que precisamos reavaliar a recorrência ou tentar o outro valor de .

Passo 12

Agora, vamos tentar .
Substituindo na recorrência:
Simplificando:
Para , isso implica que , o que novamente não nos dá uma solução útil. Parece que a estrutura dessa equação sugere que as soluções são limitadas.

Passo 13

Parece que, devido à estrutura específica da equação, as soluções em série truncam rapidamente, levando a soluções simples. Observando a equação original, podemos buscar soluções polinomiais.
Vamos tentar e encontrar os valores de que satisfazem a equação.
Substituindo :
Substituindo na equação:
Agrupando termos semelhantes:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes devem ser zero:
Resolvendo a primeira equação:
Resolvendo a segunda equação:
Aqui, vemos que há incompatibilidade nas soluções para . Isso sugere que a única solução consistente é , levando a uma solução constante.

Passo 14

Portanto, concluímos que a equação diferencial dada possui soluções simples:
Essas são as duas soluções linearmente independentes encontradas pelo método de Frobenius.

Resposta

As duas soluções seriais linearmente independentes em torno de são:

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