Mostre que o par de funcões x(t) = e^(-2 t) + 3 e^(6 t) e y(t) = -e^(-2 t) + 5 e^(6 t) é uma solucão do sistema de equacões
{ dx/dt = x + 3y; dy/dt = 5x + 3y }

Passo 1

Vamos verificar se as funções e satisfazem o sistema de equações diferenciais dado. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas dessas funções e substituí-las nas equações do sistema.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de . A derivada de em relação a é .

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de :

Passo 4

Vamos substituir e na primeira equação do sistema:
Substituindo:
Simplificando o lado direito:
Os dois lados são iguais, então a primeira equação está satisfeita.

Passo 5

Agora, substituímos e na segunda equação do sistema:
Substituindo:
Simplificando o lado direito:
Novamente, os dois lados são iguais, então a segunda equação também está satisfeita.

Resposta

O par de funções e é uma solução do sistema de equações dado.

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