Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial
e precisamos usar o método de Frobenius para encontrar duas soluções seriais que sejam linearmente independentes perto de
. O método de Frobenius é usado para resolver equações diferenciais em torno de pontos singulares regulares, onde a solução pode ser expressa como uma série de potências.
Passo 2
Vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão dividindo todos os termos por
:
Isso ajuda a identificar as funções
e
na equação padrão
.
Passo 3
Identificamos que
e
. O ponto
é um ponto singular regular porque as funções
e
são analíticas em
.
Passo 4
Para aplicar o método de Frobenius, assumimos uma solução na forma de uma série de potências:
onde
é o indicial que vamos determinar.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação diferencial reescrita:
Passo 7
Simplificamos e organizamos os termos para igualar os coeficientes de cada potência de
a zero. Isso envolve encontrar o indicial
resolvendo a equação obtida do menor expoente.
Passo 8
Resolvendо a equação do indicial, encontramos os valores de
. Geralmente, haverá dois valores de
, que nos darão as duas soluções linearmente independentes.
Passo 9
Com os valores de
, substituímos de volta na série e calculamos os coeficientes
recurentemente para obter as duas soluções seriais.
Resposta
As duas soluções seriais linearmente independentes em torno de
são:
onde os coeficientes
e
são determinados pelas recorrências obtidas durante a resolução.
Exercícios relacionados
Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular
.
Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário
.
Calcule a integral transformando-a em coordenadas cilíndricas.
Verifique que as funções seguintes são soluções das equações diferenciais dadas: