Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial e precisamos usar o método de Frobenius para encontrar duas soluções seriais que sejam linearmente independentes perto de . O método de Frobenius é usado para resolver equações diferenciais em torno de pontos singulares regulares, onde a solução pode ser expressa como uma série de potências.

Passo 2

Vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão dividindo todos os termos por :
Isso ajuda a identificar as funções e na equação padrão .

Passo 3

Identificamos que e . O ponto é um ponto singular regular porque as funções e são analíticas em .

Passo 4

Para aplicar o método de Frobenius, assumimos uma solução na forma de uma série de potências:
onde é o indicial que vamos determinar.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :

Passo 6

Substituímos , e na equação diferencial reescrita:

Passo 7

Simplificamos e organizamos os termos para igualar os coeficientes de cada potência de a zero. Isso envolve encontrar o indicial resolvendo a equação obtida do menor expoente.

Passo 8

Resolvendо a equação do indicial, encontramos os valores de . Geralmente, haverá dois valores de , que nos darão as duas soluções linearmente independentes.

Passo 9

Com os valores de , substituímos de volta na série e calculamos os coeficientes recurentemente para obter as duas soluções seriais.

Resposta

As duas soluções seriais linearmente independentes em torno de são:
onde os coeficientes e são determinados pelas recorrências obtidas durante a resolução.

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Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário .
Calcule a integral transformando-a em coordenadas cilíndricas.
Verifique que as funções seguintes são soluções das equações diferenciais dadas: